[Risolto] Esercizio di geometria

Ciao @marioluca

Vista la congruenza dei segmenti che rappresentano i lati è possibile ragionare sulle loro misure:

AB=x

BC=y

AC=z

Quindi riscrivere le condizioni poste sulle relative misure:

a) z=x; y=2z

b) x=2y;z=1/2*y

c) x=2y ; z=2y

d) y=z ; x=1/2*y

Quindi si devono ricordare le seguenti condizioni:

In ogni triangolo ciascun lato deve essere minore della somma degli altri 2

In ogni triangolo ciascun lato deve essere maggiore della differenza degli altri 2

Queste condizioni devono essere verificate contemporaneamente. Nei quattro casi esaminati è possibile dare la misura dei tre lati in funzione della misura x del 1°

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a)  x; 2x;x

{x<2x+x VERO

{x>2x-x FALSO  non è possibile costruire un triangolo

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b) x; 1/2*x; 1/4x

{x<1/2*x+1/4*x  FALSO

{x>1/2x-1/4x VERO non è possibile costruire un triangolo

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c) x; 1/2x ; x

{x<1/2*x+x VERO

{x>x-1/2*x VERO è possibile costruire un triangolo

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d) x ; 2x; 2x

{x<2x+2x VERO

{x>2x-2x VERO è possibile costruire un triangolo

Nei 4 casi x>0; y>0; z>0

Che strano! Due domande consecutive (Es. 110 di Antonio_0; Es. 108 di marioluca) sullo stesso argomento: le diseguaglianze triangolari.
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Tre numeri reali (a, b, c) non negativi possono rappresentare le lunghezze dei lati di un triangolo se e solo se ciascuno di essi è compreso fra la differenza e la somma degli altri due
* (|a - b| <= c <= a + b) & (|a - c| <= b <= a + c) & (|b - c| <= a <= b + c)
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Nel caso in cui (a, b, c) siano positivi e non valga nessuna delle sei eguaglianze il triangolo non solo esiste, ma è anche non degenere.
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Nel caso in cui non ci siano diseguaglianze lasche, (a, b, c) siano positivi e siano anche in ordine
* 0 < a <= b <= c
allora la verifica si può limitare alla diseguaglianza
* c < a + b
di cui le altre sono implicanti.
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VALE A DIRE CHE: tre numeri reali positivi (0 < a <= b <= c) rappresentano le lunghezze dei lati di un triangolo non degenere se e solo se il maggiore di essi è strettamente minore della somma degli altri due.
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Per l'esercizio 108 conviene porre a uno la misura del segmento più corto.
Ad esempio, nel caso d, porre
* |AB| = 1; |BC| = 2; |AC| = 2; (a, b, c) = (1, 2, 2).
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Per l'esercizio 110 le misure sono la soluzione del calcolo frazionario esposto in narrativa che, ovviamente, non c'entra una cippa con le diseguaglianze triangolari.
Ma è ben noto che un libro per essere adottabile dev'essere ... meglio non dirlo.