[Risolto] Esercizio di geometria 173

Un cono ha il volume di 2.800 pigreco cm^3 e l'altezza di 21 cm calcola: a) l'area laterale del cono, b) il volume della piramide quadrangolare regolare inscritta nel cono.

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Cono.

Area di base $Ab= \dfrac{3·V}{h} = \dfrac{3×2800π}{21} = 400π~cm^2$;

raggio di base $r= \sqrt{\frac{Ab}{π}} = \sqrt{\frac{400π}{π}} = \sqrt{400} = 20~cm$;

circonferenza di base $c= r·2π = 20×2π = 40π~cm$;

apotema $ap= \sqrt{h^2+r^2} = \sqrt{21^2+20^2} = 29~cm$ (teorema di Pitagora);

a) area laterale $Al= \dfrac{c·ap}{2} = \dfrac{40π×29}{2} = 580π~cm^2$.

Piramide inscritta nel cono.

Diagonale di base $d= 2·r = 2×20 = 40~cm$ (diagonale del quadrato di base);

spigolo di base $s_b= \dfrac{40}{\sqrt{2}} = 20\sqrt2~cm$ (lato del quadrato);

area di base $Ab= s_b^2 = (20\sqrt2)^2 = 400×2= 800~cm^2$;

b) volume $V= \dfrac{Ab·h}{3} = \dfrac{800×21}{3} = 5600~cm^3$.