[Risolto] Esercizio di fisica

Legge del moto della mongolfiera che sale a velocità costante, altezza iniziale yo = 2,5 m:

y1 = 2,0 * t + 2,5;

legge del moto della macchina fotografica lanciata verso l'alto con velocità vo = 13 m/s. Il moto è accelerato, con accelerazione g = - 9,8 m/s^2.

y2 = 1/2 * (- 9,8) * t^2 + 13 * t;

y2 = y1; la macchina fotografica raggiunge la mongolfiera.

1/2 * (- 9,8) * t^2 + 13 * t = 2,0 * t + 2,5;

- 4,9 t^2 + 13 t - 2,0 t - 2,5 = 0;

4,9 t^2 - 11 t + 2,5 = 0;

t = [11 +- radice(11^2 - 4 * 4,9 * 2,5)] / (2 * 4,9);

t = [11 +- radice(72)] / 9,8;

t = [11+- 8,49 ] / 9,8;

prendiamo il tempo più breve:

t1 = (11 - 8,49) / 9,8 = 0,26 s;

y1 = 2,0 * 0,26 + 2,5 = 3,02 m; altezza della mongolfiera quando viene raggiunta dalla macchina.

velocità minima vo della macchina fotografica;

y2 = y1

y2 = - 4,9 * t^2 + vo* t;

y1 = 2,0 * t + 2,5;

- 4,9 * t^2 + vo* t = 2,0 * t + 2,5;

vo * t = 4,9 t^2 + 2,0 * t + 2,5;

vo = 4,9 t + 2,0 + 2,5 /t;

derivata prima:

f'(t) = 4,9 - 2,5/t^2;

f'(t) = 0;

2,5 / t^2= 4,9:

t^2 = 2,5 / 4,9 = 0,51;

t = rad(0,51) = 0,714 s;

vo = 4,9 * 0,714 + 2,0 + 2,5 /0,714 = 9 m/s;

oppure se non conosci le derivate, la macchina deve arrivare alla mongolfiera con velocità finale uguale a 0 m/s;

v =  - 9,8 + t + vo; legge della velocità; la velocità è la derivata prima dello spazio rispetto al tempo.

v = 0;

- 9,8 * t + vo = 0

t = vo / 9,8; andiamo a sostituire in y2 = y1;

- 4,9 * t^2 + vo* t = 2,0 * t + 2,5;

- 4,9 * vo^2 / 9,8^2 + vo * vo / 9,8 = 2,0 * vo/9,8 + 2,5;

- 0,051 * vo^2 + 0,102 * vo^2 = 0,204 * vo + 2,5;

vo^2 * 0,051 - 0,204 * vo - 2,5 = 0;

vo = [+0,102+- radice( 0,102^2 + 0,051 * 2,5)] /0,051;

vo = [+ 0,102 +- radice(0,138)] / 0,051;

vo = [+ 0,102 +- 0,371] / 0,051;

vo = 0,473 / 0,051 = 9,3 m/s (circa).

@michele_toh  ciao.

Lo spazio percorso dalla mongolfiera è:

s = So + v·t = 2.5 + 2·t  

Quello percorso dalla macchina fotografica è:

s = Vo·t - 1/2·g·t^2 = 13·t - 4.905·t^2   ( con g= 9.81 m/s^2)

Uguagliando le due equazioni precedenti si trova il tempo impiegato dalla macchina fotografica  per raggiungere la mongolfiera:

2.5 + 2·t  = 13·t - 4.905·t^2

Si trova la seguente equazione di 2 grado:

4.905·t^2 - 11·t + 2.5 = 0

Risolvendola si ottiene: t = 1.986 s ∨ t = 0.257 s

Si prende il tempo minore, con la macchina fotografica in salita: t = 0.257 s

L’altezza di arrivo, è perciò:  s=2.5 + 2·0.257 = 3.014 m

Dopo vedo la seconda parte se mi ricordo....

Riprendo:

Come prima valgono le relazioni:

{s = 2.5 + 2·t

{s = v·t - 4.905·t^2

ove v non si conosce, ma deve essere tale per cui raggiunga la mongolfiera!

per effetto della gravità g la macchina fotografica salirà con velocità che si dovrà porre:

v - g·t = 0--------> t = v/g con g = 9.81 m/s^2

Quindi si ha:

{s = 2.5 + 2·(v/9.81)

{s = v·(v/9.81) - 4.905·(v/9.81)^2

Uguagliando gli spazi:

2.5 + 2·(v/9.81) = v·(v/9.81) - 4.905·(v/9.81)^2

200·v/981 + 5/2 = 50·v^2/981

e risolvendo:

v = -5.283543093 ∨ v = 9.284 m/s

sotto la velocità indicata in grassetto non è possibile !

Buongiorno,

Ho questo problema diviso in 2 parti. La prima si risolve con le leggi orarie.

Una mongolfiera è appena partita e sta salendo con velocità costante di 2,0 m/s. Improvvisamente una passeggera si accorge di aver dimenticato la macchina fotografica. Un suo amico, che è rimasto a terra, prende la macchina fotografica e gliela Lancia diritta verso l'alto con una velocità iniziale di 13 m/s. Se quando viene lanciata la macchina la passeggera si trova 2,5 m sopra al suo amico, a quale altezza si troverà quando la macchina fotografica la raggiunge?

Ma la seconda parte del problema chiede:

qual è la velocità minima iniziale perché la macchina fotografica raggiunga la mongolfiera?

Grazie a chi mi risponderà.

sia:

s(t) = so + v*t   

 equaz.oraria della mongolfiera  con so =2.5 m   e   v = 2.0 m/s

mentre per la macchina fotografica

sm(t) = vo*t - g*t^2/2 

la cui derivata...

dsm/dt = vm(t) = vo  - g*t   ---> posta = 0 dà ---> t' = vo/g

se allora la mongolfiera all'istante t'  ha s(t') = so + v*t' > sm(t') = vo*t' - g*t'^2/2   ... la macchina fotografica non raggiungerà mai la mongolfiera.

sostituendo e al limite (segno=)

so + v*vo/g = vo^2/g - g*vo^2 /(2g²)  ---> so + v*vo/g =  vo^2/(2g)

dove è incognita vo {= vomin = x} 

vomin = x ≈ 9.28011 m/s

.......................

prima parte

s(t*) =sm(t*)    ---> t* = t ≈0.256604 s

s(t*) = ~ 2.5 + 2*0.256604 = 3.013208  =~ 3 m

ovviamente seguendo la traccia scartiamo la soluz. (blu) in discesa.