Una sfera metallica di raggio $R_1$ è concentrica a un guscio sferico di raggi $R_2$ e $R_3$. Su entrambi i conduttori viene posta una carica pari a $q$. Calcolare il campo elettrico in tutto lo spazio, il potenziale al centro del sistema. $$ \left(R_1=3 \mathrm{~cm}, R_2=6 \mathrm{~cm}, R_3=8 \mathrm{~cm}, q=10-9 \mathrm{C}\right) $$
Sia la sfera che il guscio sono conduttori, per cui la carica si trova solamente sulle superfici esterne.
Possiamo già dire inoltre che all'interno dei due conduttori, quindi per $0<r< R_1$ e per $R_2 < r < R_3$ il campo è nullo.
Nota che anche per $r=R_2$ il campo si annulla dato che la carica interna è nulla: infatti sulla sfera interna è distribuita una carica $+q$, che provoca una polarizzazione del guscio per cui una carica $-q$ si distribuisce sulla superficie interna del guscio e una carica $+2q$ su quella esterna (in modo che $-q+2q$= q che è la carica totale sul guscio).
Per $R_1 \leq r < R_2$ basta applicare il teorema di Gauss:
$\Phi(E) = \frac{Q}{\epsilon_0}$
e tenendo conto della simmetria sferica:
$ E(r) \cdot 4 \pi r^2 = \frac{Q}{\epsilon_0}$
da cui
$ E(r) = \frac{q}{4 \pi \epsilon_0 r^2}$
Analogamente per $r \geq R_3$ abbiamo:
$ E(r) = \frac{2q}{4 \pi \epsilon_0 r^2}$
dove cambia solo il fatto che la carica totale da considerare è $q+q=2q$
Per quanto riguarda il potenziale abbiamo:
$\Delta V = - \int_{\infty}^r E dr = V(r) - V(\infty) = V(r)$
dove poniamo convenzionalmente $V(\infty) = 0$.
Dato che vogliamo il potenziale al centro dobbiamo calcolare:
$ V(0) = -\int_{\infty}^0 E dr$
dobbiamo però considerare il fatto che il campo assume valori diversi nei vari punti dello spazio e dunque calcolare: