[Risolto] ESERCIZIO di FISICA

Sia la sfera che il guscio sono conduttori, per cui la carica si trova solamente sulle superfici esterne. 

Possiamo già dire inoltre che all'interno dei due conduttori, quindi per $0<r< R_1$ e per $R_2 < r < R_3$ il campo è nullo.

Nota che anche per $r=R_2$ il campo si annulla dato che la carica interna è nulla: infatti sulla sfera interna è distribuita una carica $+q$, che provoca una polarizzazione del guscio per cui una carica $-q$ si distribuisce sulla superficie interna del guscio e una carica $+2q$ su quella esterna (in modo che $-q+2q$= q che è la carica totale sul guscio).

Per $R_1 \leq r < R_2$ basta applicare il teorema di Gauss:

$\Phi(E) = \frac{Q}{\epsilon_0}$

e tenendo conto della simmetria sferica:

$ E(r) \cdot 4 \pi r^2 = \frac{Q}{\epsilon_0}$

da cui

$ E(r)  = \frac{q}{4 \pi \epsilon_0 r^2}$

Analogamente per $r \geq R_3$ abbiamo:

$ E(r)  = \frac{2q}{4 \pi \epsilon_0 r^2}$

dove cambia solo il fatto che la carica totale da considerare è $q+q=2q$

Per quanto riguarda il potenziale abbiamo:

$\Delta V = - \int_{\infty}^r E dr = V(r) - V(\infty) = V(r)$

dove poniamo convenzionalmente $V(\infty) = 0$.

Dato che vogliamo il potenziale al centro dobbiamo calcolare:

$ V(0) = -\int_{\infty}^0 E dr$

dobbiamo però considerare il fatto che il campo assume valori diversi nei vari punti dello spazio e dunque calcolare:

$ V(0) = -\bigg(\int_{\infty}^{R_3} + \int_{R_3}^{R_2} + \int_{R_2}^{R_1} + \int_{R_1}^{R_0}  \bigg)E dr$

e tenendo conto dei punti in cui il campo è nullo:

$ V(0) = -\bigg(\int_{\infty}^{R_3} + \int_{R_2}^{R_1}  \bigg)E dr$

sostituendo le espressioni del campo elettrico:

$ V(0) = -\bigg(\int_{\infty}^{R_3} \frac{2q}{4 \pi \epsilon_0 r^2} dr + \int_{R_2}^{R_1} \frac{q}{4 \pi \epsilon_0 r^2} dr \bigg)$

e integrando:

$ V(0) = -\bigg(\bigg[\frac{2q}{4 \pi \epsilon_0 r} \bigg]_{\infty}^{R_3} + \bigg[\frac{2q}{4 \pi \epsilon_0 r} \bigg]_{R_2}^{R_1} \bigg)$

cioé

$ V(0) = -\bigg(\frac{2q}{4 \pi \epsilon_0 R_3} +\frac{2q}{4 \pi \epsilon_0 R_1} - \frac{2q}{4 \pi \epsilon_0 R_2}\bigg)$

Noemi