Il filo genera un campo magnetico di intensità variabile nel tempo e nello spazio, il cui modulo si può calcolare con la legge di Biot-Savard:
$B(r)= \frac{\mu_0 i(t)}{2\pi r)}$
Calcoliamo il flusso del campo magnetico nella spira:
$\Phi(B)= \int B(r) dA$
Per calcolare il differenziale, immaginiamo di suddividere la spira in tanti rettangolini di dimensioni $l$ e $dr$, dove $d \leq r \leq d+l$, in modo che $dA= l \cdot dr$
$\Phi(B) = \Phi(B) = \int_d^{d+l} \frac{\mu_0 i(t)}{2\pi r} l dr =$
$\Phi(B) = \frac{\mu_0 i(t) l}{2\pi} \int_d^{d+l} \frac{1}{r}dr =$
$\Phi(B) = \frac{\mu_0 i(t) l}{2\pi} ln(\frac{d+l}{d})$
Il coefficiente di mutua induzione è semplicemente:
$ M = \frac{\Phi(B)}{i} = \frac{\mu_0 l}{2\pi} ln(\frac{d+l}{d})$
La forza elettromotrice indotta va calcolata tramite Farady-Neumann-Lenz:
$ fem = -\frac{dPhi(B)}{dt}$
$ fem = -\frac{d}{dt}[\frac{\mu_0 i(t) l}{2\pi} ln(\frac{d+l}{d})]$
portando fuori dal segno di derivata i termini costanti:
$ fem = -\frac{\mu_0 l}{2\pi} ln(\frac{d+l}{d}) \frac{d}{dt}[i(t)]$
$ fem = -\frac{\mu_0 l}{2\pi} ln(\frac{d+l}{d}) \frac{d}{dt}[i_0 cos(\omega t)]$
$ fem = +\frac{\mu_0 l}{2\pi} ln(\frac{d+l}{d}) \cdot i_0 \omega sin (\omega t)$
La corrente indotta è dunque:
$ I = \frac{fem}{R} = +\frac{\mu_0 l}{2\pi R} ln(\frac{d+l}{d}) \cdot i_0 \omega sin (\omega t)$
Infine per la forza magnetica agente sulla spira nota che sui lati in alto e in basso, la forza magnetica è uguale e opposta dunque si annulla.
Sui due lati verticali invece va calcolata tramite Ampere.
Sul lato a distanza $d$ abbiamo.
$ F = \int i dl \times B = \int i B dl = iB\int dl = iB l$
dove ho tenuto conto del fatto che $dl$ e $B$ sono ortogonali e ho portato fuori i termini costanti. Quindi:
$ F_1 = i(t) \frac{\mu_0 i(t)}{2\pi d)} l$
mentre sul secondo lato abbiamo analogamente:
$ F_2 = i(t) \frac{\mu_0 i(t)}{2\pi (d+l))} l$
Le due forze sono opposte per la regola della mano destra (la corrente fluisce in senso opposto) per cui:
$ F_{tot} = F_1 - F_2$
Noemi
