\[V_{tot} = \frac{4}{3}\pi R^3 \qquad V_{cav} = \frac{4}{3}\pi\left(\frac{R}{2}\right)^3 = \frac{1}{6}\pi R^3\qquad V_{r_A} = \frac{4}{3}\pi\left(\frac{3R}{4}\right)^3 = \frac{9}{16}\pi R^3\,.\]
La densità di carica $\rho$ è data da
\[\rho = \frac{Q}{V_{tot} - V_{cav}} = \frac{Q}{\frac{7}{6}\pi R^3}\,.\]
La carica effettiva $Q_{eff}$ nella topologia descritta dal raggio $r_a$, si calcola come
\[Q_{eff} = \rho \cdot V_{r_A} = \dots = \frac{27Q}{56}\,.\]
Allora per la Legge di Gauss (già descritta in uno dei tuoi precedenti post), il campo elettrico calcolato a una distanza $r_A$ dal centro della sfera uniformemente carica, si ha
\[E = \frac{Q_{eff}}{4\pi \epsilon_0 r_A^2} \quad \text{basta sostituire i valori}\,.\]
La differenza di potenziale $\Delta V$ tra la superficie della cavità e quella della superficie esterna del corpo sferico, si ottiene come
\[\int_{\frac{R}{2}}^{R} E(r) dr \mid E(r) \Bigg|_{\substack{r > \frac{R}{2}}} = \frac{Q_{eff}(r)}{4\pi \epsilon_0 r^2}\,.\]
Poiché la carica è uniformemente distribuita, essa si trova calcolando il campo elettrico nelle rispettive regioni topologiche di carica e si integra.
Per $\frac{R}{2} < r < R$:
\[E(r) = \frac{Q_{eff}(r)}{4\pi \epsilon_0 r^2} \mid Q_{eff}(r) = \rho \cdot V_r = \frac{6Q}{7\pi R^3} \cdot \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{8Qr^3}{7R^3} \implies E(r) = \frac{2Q}{7\pi \epsilon_0 R^3}r\,.\]
Allora
\[\Delta V = \int_{\frac{R}{2}}^{R} E(r) dr = \frac{2Q}{7\pi \epsilon_0 R^3} \int_{\frac{R}{2}}^{R} r dr \quad \text{basta procedere con i calcoli e ottenere la differenza}\,.\]
Se hai dubbi su qualche passaggio, scrivilo nei commenti.
