Il volume di una corona sferica con raggio interno $R$ e raggio esterno $2R$ è dato da
\[V = \frac{4}{3}\pi \left(2R\right)^3 - \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{28}{3}\pi R^3\,.\]
Quindi
\[\rho = \frac{Q}{V} = \frac{3Q}{28\pi R^3}\,.\]
Per $R < r < 2R$, il campo elettrico $\mathbf{E}$ è definito, per la Legge di Gauss, come
\[\oint_{S} \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{Q_{in}}{\epsilon_0} \mid Q_{in} = \frac{\frac{4}{3}\pi(r^3 - R^3)}{\frac{4}{3}\pi(8R^3 - R^3)} = Q \cdot \frac{r^3 - R^3}{7R^3} \implies\]
\[\oint_{S} \vec{E} \cdot d\vec{A} = E \cdot 4\pi r^2 = \frac{Q(r^3 - R^3)}{7R^3\epsilon_0} \implies E = \frac{Q(r^3 - R^3)}{28\pi \epsilon_0 R^3 r^2}\,.\]
La differenza di potenziale tra la superficie interna e quella esterna della corono sferica è data da
\[\Delta V = V(R) - V(2R) \mid V(r) = - \int E\;dr \implies\]
\[\Delta V = \int_{R}^{2R} E\; dr \Bigg|_{\substack{R < r < 2R}} = \frac{Q}{28\pi \epsilon_0 R^3} \int_{R}^{2R} \frac{r^3 - R^3}{r^2} dr = \dots = \frac{Q}{14\pi \epsilon_0 R}\,.\]
Quantunque l'integrale si risolva banalmente, se hai dubbi scrivi nei commenti.
