Esercizio di fisica

La carica totale è esprimibile come

\[Q_{tot} = Q_1 + Q_2\,.\]

Per la Legge di Gauss

\[\oint E \cdot dA = \frac{Q_{tot}}{\epsilon_0}\implies\]

\[E \cdot 4\pi \left(5R_3\right)^2 = \frac{Q_{tot}}{\epsilon_0} \implies\]

\[E =\frac{Q_{tot}}{4\pi \epsilon_0 \left(5R_3\right)^2}\,.\]

Per $0< r < R_1$:

\[E(r) = \frac{Q_1r}{4\pi \epsilon_0 R_{1}^3}\,.\]

Per $R_1 < r < R_2$:

\[E(r) = \frac{Q_1}{4 \pi \epsilon_0 r^2}\,.\]

Per la superficie di raggio $R_2$, la densità di carica è:

\[\sigma_{R_2} = \frac{Q_{in}}{4\pi R_2^2} = \frac{Q_2}{4\pi R_2^2}\,.\]

Per $R_3$, la densità di carica è

\[\sigma_{R_3} = \frac{Q_{out}}{4\pi R_{3}^2} = \frac{Q_2}{4\pi R_{3}^2}\,.\]

Per il Principio di conservazione dell'energia:

\[\frac{1}{2} m v^2 = q_1 (V_{R_1} - V_{R_3}) \mid V = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 r}\implies\]

\[v_{min} = \sqrt{\frac{2 q_1 \Delta V}{m}} \mid \Delta V = V_{R_1} - V_{R_3}\,.\]

Rispondo a un dubbio dell'autore del post @lau10

Per $0 < r < R_1$, la densità volumetrica di carica è

\[\rho = \frac{Q_1}{\frac{4}{3}\pi R_1^3}\,.\]

Per la Legge di Gauss

\[\oint_{S} E \cdot dA = \frac{Q_{in}}{\epsilon_0} \mid Q_{in} = \rho \frac{4}{3}\pi r^3 = Q_1\frac{r^3}{R_1^3}\]

\[E(r) \Bigg|_{\substack{0 < r < R_1}} = \frac{Q_{in}}{4\pi\epsilon_0 r^2} = \frac{Q_1 r}{4\pi\epsilon_0 R_1^3}\,.\]

Stesse considerazioni per il caso $R_1 < r < R_2$.