Una sfera carica di densità uniforme $\rho$ e raggio $R$ ha al suo intero due cavita di raggio $R_1$ centrate nei punti di coordinate $(0, d) e(d, 0)$.
Calcolare:
a) La carica totale contenuta nella sfera di raggio $R$
b) Il vettore campo elettrico al centro della sfera
c) La velocita minima che una particella (carica $q$ e massa $m$ ) lanciata da $x=5 \mathrm{e}$ e vincolata a muoversi lungo l'asse $\mathrm{x}$, deve avere per fermarsi al bordo della distriburione $(\mathrm{x}-\mathrm{R}$ )
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Livello 2
Per trovare la carica totale $Q$ contenuta nella sfera:
\[Q = \rho V_{\text{tot}} = \rho \left(V_{\text{sfera}} - 2V_{\text{cavità}}\right) = \rho \left(\frac{4}{3}\pi R^3 - 2\frac{4}{3}\pi R_{1}^3\right)\,,\]
dove $R_1$ è il raggio delle cavità.
Il campo elettrico al centro della sfera, per simmetria della distribuzione di carica con le cavità, risulta nullo:
$\vec{E}_{\text{centro}} = \vec{0}\,$.
Per determinare la velocità minima $v$ affinché la particella si fermi al bordo della sfera, si utilizza il Principio di conservazione dell'energia: Il lavoro svolto dal campo vettoriale sulla carica deve essere uguale all'energia cinetica inziale della particella; quindi
\[\frac{1}{2}mv^2 = q\Delta U \mid \Delta U = q\left( V_{\text{bordo}} - V_{\text{centro}}\right)\,,\]
in cui ricavare $v$. Per una soluzione più rigorosa, è necessario valutare la variazione del campo elettrico lungo il percorso della particella, coinvolgendo calcoli integrali più complessi.
Basta sostituire i valori e fare i calcoli.
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Livello 5
@enrico_bufacchi grazie mille!
Un appunto: Per calcolare il campo elettrico al centro della sfera, si sarebbe potuto utilizzare il Principio di sovrapposizione, tenendo conto della simmetria topologico-geometrica del sistema, in cui ogni cavità viene considerata avente densità di carica negativa.
@enrico_bufacchi Come mai in questo tipo di situazioni si considera le cavità presenti con carica negativa? Non la si dovrebbe considerare senza carica?
@Lau10 E' un artificio matematico per semplificare i calcoli: La cavità è una regione priva di carica, ma per calcolare l'effetto netto, possiamo trattarla come se avesse una densità di carica negativa che annulla la densità di carica della sfera piena nella regione della cavità.
