Un collisionatore è un particolare acceleratore di particelle in cuil le particelle accelerate in versi opposti lungo traiettorie circolari vengono fatte collidere frontalmente con velocità uguali e opposte. Supponiamo di considerare un elettrone con velocità $v=x c$ (c indica la velocità della luce nel vuoto) nel sistema di riferimento del laboratorio, che collide frontalmente con un positrone (particella che ha la stessa massa dell'elettrone ma carica opposta) che ha velocità uguale e opposta a quella dell'elettrone.
1. Scrivi la funzione $K(x)$ che esprime I'energia cinetica relativistica degli elettroni nel sistema di riferimento del laboratorio e verifica se la funzione $\mathrm{K}(\mathrm{x})$ è integrabile in senso improprio nell'intervallo $[-1 ; 1]$
2. Scrivi l'equazione della fisica classica che permette di esprimere la velocità dell'elettrone misurata dal sistema di riferimento del positrone e indica tale velocità dell elettrone con $g(x)$.
Nella teoria della relatività ristretta le trasformazioni di Galileo sono sostituite dalle trasformazioni di Lorentz.
3. Scrivi la trasformazione relativistica che permette di esprimere la velocità dell'elettrone misurata nel sistema di riferimento del positrone e indica tale velocità con $\mathrm{f}(\mathrm{x})$. Verifica che $|g(x)| \geq|f(x)| \forall x \in \mathbb{R}$
4. Studia la funzione $\mathrm{f}(\mathrm{x}), \mathrm{x} \in \mathbb{R}$ e traccia il suo grafico. Individua la parte di grafico fisicamente accettabile. In questa parte del dominio la funzione $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ ha un massimo? Riporta anche il grafico di $\mathrm{g}(\mathrm{x})$ nello stesso sistema di riferimento cartesiano.
5. Determina per quali valori di x la velocità dell'elettrone nel sistema di riferimento del positrone, calcolato con il modello relativistico, differisce, in valore assoluto, meno del $10 \%$ rispetto a quello calcolato con il modello classico.
Attualmente si sta valutando la possibilità di realizzare una nuova generazione di acceleratori in cui le particelle accelerate sono i muoni, particelle che hanno una massa $\mathrm{m}_{\mu}=1,884 \cdot 10^{-28} \mathrm{~kg} \mathrm{e}$ che a riposo hanno una vita media di $2,2 \mu$.
6. Supponiamo che in questi acceleratori i muoni abbiano un'energia di $10 \mathrm{GeV}$. Determina quale lunghezza possono percorrere muoni di questa energia prima di decadere.
Buonasera a tutti, qualcuno potrebbe aiutarmi in questo esercizio o quantomeno come impostare i vari punti? Ringrazio anticipatamente a tutti quelli che potranno aiutarmi.
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