[Risolto] Esercizio di analisi matematica 2

Dalle equazioni parametriche osserviamo che $\Sigma$ è la superficie di un ellissoide di equazione cartesiana
\[
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}+z^{2}=1
\]
che è una superficie chiusa. Quindi possiamo applicare il teorema della divergenza.

Teorema della divergenza.

Sia $A \subset R ^{3}$ un aperto non vuoto e $\vec{F}: A \rightarrow R ^{3}$ un campo vettoriale di classe $C ^{1}$ $\operatorname{in} A \operatorname{con} \vec{F}=F_{1} \hat{x}+F_{2} \hat{y}+F_{3} \hat{z}$
Sia $B$ un dominio limitato tale che la chiusura di $B$ sia contenuta in $A$ ed indichiamo con $\hat{n}_{e}$ il versore normale esterno a $B$ Allora vale la seguente formula:(1)
\[
\iiint_{B} \operatorname{div} \vec{F} d x d y d z=\iiint_{B}\left(\frac{\partial F_{1}}{\partial x}+\frac{\partial F_{2}}{\partial y}+\frac{\partial F_{3}}{\partial z}\right) d x d y d z=\iint_{\partial B} \vec{F} \cdot \hat{n}_{e} d \sigma
\]
In forma discorsiva, il teorema afferma che il flusso di un campo vettoriale, uscente da una superficie chiusa uguaglia l'integrale della divergenza del campo nella regione racchiusa dalla superficie stessa.

Torniamo all'esercizio e calcoliamo le varie componenti di $\operatorname{div} \vec{F}$ Chiamiamo
\[
\begin{array}{l}
F_{1}=z(y+\operatorname{set} \sinh (x)) \\
F_{2}=\frac{2 y \sqrt{x^{2}+1}+y^{2}+z^{2}}{\sqrt{x^{2}+1}} \\
F_{3}=-\frac{z^{2}+4 y z}{2 \sqrt{x^{2}+1}}
\end{array}
\]
e calcoliamo le varie componenti di $\operatorname{div} \vec{F}$ :
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial F_{1}}{\delta x}=\frac{z}{\sqrt{x^{2}+1}} \\
\frac{\partial F_{2}}{\delta y}=\frac{2 \sqrt{x^{2}+1}+2 y}{\sqrt{x^{2}+1}}=2+\frac{2 y}{\sqrt{x^{2}+1}}
\end{array}
\]
\[
\frac{\partial F_{3}}{\delta z}=-\frac{2 z+4 y}{2 \sqrt{x^{2}+1}}=-\left(\frac{z}{\sqrt{x^{2}+1}}+\frac{2 y}{\sqrt{x^{2}+1}}\right)
\]
Applichiamo ora (1):
\[
\iint_{\Sigma} \vec{F} \cdot \hat{n} d \sigma=\iint_{D} d i v \vec{F} d x d y d z
\]
dove $\hat{n}=\hat{n}$ e $\partial D=\Sigma$ e $D=\left\{(x, y, z) \in R ^{3}: \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}+z^{2} \leq 1\right\},$ da cuil
\[
\begin{array}{l}
\iint_{\Sigma} \vec{F} \cdot \hat{n} d \sigma=\iiint_{D}\left(\frac{z}{\sqrt{x^{2}+2}}+2+\frac{2 y}{\sqrt{x^{2}+1}}-\frac{z}{\sqrt{x^{2}+2}}-\frac{2 y}{\sqrt{x^{2}+2}}\right) d x d y d z \\
\iiint_{S} 2 d x d y d z=
\end{array}
\]
Dal momento che un ellissoide di equazione cartesiana
\[
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1
\]
ha volume $\tau$ pari ad
\[
\tau=\frac{4}{3} \pi a b c
\]
allora otteniamo
\[
\iint_{\Sigma} \vec{F} \cdot \hat{n} d \sigma=\iint_{D} d i v \vec{F} d x d y d z=2 \cdot \frac{4}{3} \cdot(6 \pi)=16 \pi
\]