ESERCIZIO DI ALGEBRA LINEARE SU SISTEMI LINEARI PARAMETRICI

Non riesco a leggere i tuoi appunti, scrivo la mia risposta a te l'onere del confronto.

Matrice dei coefficienti

$ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & k+3 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & k+3 \end{pmatrix} $

a.  Essendo detA = -k-3 la matrice sarà singolare se k= - 3  

b.  Indico con A_c la matrice completa, cioè

$ A_c = \begin{pmatrix} 1 & 1 & k+3 & k^2-5 \\ 1 & 1 & 0 & 4 \\ 1 & 0 & k+3 & k^2- 8 \end{pmatrix} $

• Se k ≠ -3 il rango vale:

1. 1. 1. per A ⇒ r(A) = 3
      2. per A_c ⇒ r(A_c) = 3

In questo caso, per Rouché Capelli, il sistema è possibile, inoltre essendo il rango eguale al numero delle incognite n il sistema risulta determinato. Conclusione esiste una sola soluzione.

• Se k = -3 allora il sistema diventa

$\left\{\begin{aligned} x+y &= 9-5 \\ x+y &= 4 \\ x &= 1 \end{aligned} \right. $

Le infinite soluzioni sono x = 1  ∧  y = 3  ∧  ∀z∈ℝ. L'incognita z può assumere qualsiasi valore reale.