Scrivi l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse $x$, di vertice $V(-3,2)$ e passante per $P(-1,1)$. Poi determina la retta parallela alla bisettrice del primo e terzo quadrante che intercetta sulla parabola una corda lunga $3 \sqrt{2}$.
$$
\left[x=2 y^2-8 y+5, \quad x-2 y+3=0\right]
$$
312
punti
Livello 1
Ogni parabola non degenere con
* apertura a != 0
* asse parallelo all'asse x
* vertice V(- 3, 2)
ha equazione
* Γ(a) ≡ x = a*(y - 2)^2 - 3
Quella fra esse che passa per P(- 1, 1) ha l'apertura data dal vincolo d'appartenenza
* - 1 = a*(1 - 2)^2 - 3 ≡ a = 2
e risulta
* Γ ≡ Γ(2) ≡ x = 2*(y - 2)^2 - 3 ≡ x = 2*y^2 - 8 *y + 5
che è proprio il risultato atteso.
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Le rette nel fascio improprio delle parallele alla bisettrice dei quadranti dispari
* r(q) ≡ y = x + q
intersecano Γ nelle soluzioni di
* r(q) & Γ ≡ (y = x + q) & (x = 2*(y - 2)^2 - 3) ≡
≡ A((9 - 4*q - √(41 - 8*q))/4, (9 - √(41 - 8*q))/4) oppure B((9 - 4*q + √(41 - 8*q))/4, (9 + √(41 - 8*q))/4)
che sono estremi di una corda lunga quanto la loro distanza
* |AB| = d(q) = √(41/2 - 4 q)
La retta richiesta ha per intercetta la radice di
* d(q) = √(41/2 - 4 q) = 3*√2 ≡ q = 5/8
e risulta
* r ≡ r(5/8) ≡ y = x + 5/8 ≡ 8*x - 8*y + 5 = 0
che è ben diverso dal risultato atteso che è errato.
Infatti
* (y = x + 5/8) & (x = 2*(y - 2)^2 - 3) ≡
≡ A(1/8, 3/4) oppure B(25/8, 15/4)
* |AB| = 3*√2
mentre
* (x - 2*y + 3 = 0) & (x = 2*(y - 2)^2 - 3) ≡
≡ P(- 1, 1) oppure B(5, 4)
* |PB| = 3*√5
57382
punti
Genius I
Per la prima scrivi x - xV = a (y - yV )^2
sostituisce le coordinate del vertice
x + 3 = a(y - 2)^2
imponi la condizione di appartenenza dell'altro punto
- 1 + 3 = a(1 - 2)^2
a = 2
x + 3 = 2(y - 2)^2
x = 2y^2 - 8y + 8 - 3
x = 2y^2 - 8y + 5
per la seconda la risposta é sbagliata perché quella retta non ha il coefficiente
angolare uguale a 1.
Se y = x + q
allora x = y - q
2y^2 - 8y + 5 = y - q
2y^2 - 9y + (q + 5) = 0 é la risolvente
AB^2 = 18
AB^2 = Dr / A^2 * (1 + m^2 ) = 18
(81 - 4*2(q+5) )/4 * 2 = 18
81 - 8q - 40 = 36
8q = 5
q = 5/8
x = y - 5/8
8x - 8y + 5 = 0
Verifica grafica
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Livello 7
@eidosm potresti spiegare questa parte?
AB = 3 rad 2 => AB^2 = 9 x 2 = 18
In maniera sintetica la lunghezza della corda intercettata su una conica da una retta di coefficiente angolare m
é data da AB = rad (Dr (1 + m^2))/|A|
in cui Dr e A sono il discriminante e il primo coefficiente della risolvente del sistema
retta/conica e m é il coefficiente angolare della retta. Ho anche scritto due appunti su questo manon sono stati ancora approvati.
@eidosm non avevo mai sentito nominare questa formula. Sa se ci sono altri metodi per risolvere questa richiesta senza utilizzarla? Grazie.
Certo, il metodo tradizionale, di cui essa é uno sviluppo abbreviato.
Scrivi la risolvente e calcoli le radici (y1, y2 nel tuo caso.
Sostituisci nell'equazione della retta per trovare le ascisse.
Determini la distanza fra due punti con la formula nota e imponi che sia uguale a 3 rad 2
