[Risolto] Esercizio con 3 test su equazioni di grado superiore al secondo

Tutt'e tre le equazioni
a) (h + 2)*x^3 - x + 1 = 0
b) a*x^(2*n) + b*x^n + c = 0
c) a*x^(2*3) + b*x^3 + c = 0
hanno in comune, oltre all'avere grado maggiore di due, anche l'essere a coefficienti reali (per default) e l'essere presentate in forma normale canonica non monica e col coefficiente direttore parametrico; pertanto il loro esame deve iniziare con la distinzione di due casi, secondo che questo sia nullo o no.
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a) (h + 2)*x^3 - x + 1 = 0 ≡
≡ (h = - 2) & (x = 1) oppure (h != - 2) & (x^3 - x/(h + 2) + 1/(h + 2) = 0)
L'equazione monica a coefficienti reali
* x^3 - x/(h + 2) + 1/(h + 2) = 0
è di grado tre, dispari, quindi ha un numero dispari di radici reali: una o tre.
Quindi è VERO che ha al più tre radici reali.
NOTA
Ha soluzioni semplici per h ∈ {0, - 50/27}
* x^3 - x/2 + 1/2 = 0 ≡ (x + 1)*(x^2 - x + 1/2) = 0
* x^3 - x/(- 50/27 + 2) + 1/(- 50/27 + 2) = 0 ≡ (x + 3)*(x - 3/2)^2 = 0
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b) a*x^(2*n) + b*x^n + c = 0 ≡
≡ (a = 0) & (x^n = - c/b) oppure (a != 0) & (x^(2*n) + b*x^n/a + c/a = 0)
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b1) x^n = - c/b
ha come soluzione le n radici n-me di "- c/b", fra cui una reale se n è dispari o due reali opposte se n è pari.
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b2) x^(2*n) + b*x^n/a + c/a = 0
di radici reali ne ha almeno due e non più di quattro in quanto, con u = x^n, si riporta alla forma
* u^2 - s*u + p = (u - U1)*(u - U2) = 0
e se le due radici U sono
* complesse allora lo sono anche le 2*n radici X
* reali coincidenti allora le n radici n-me di U sono doppie
* reali distinte allora le n radici n-me di U1 e le n di U2, se n è pari, possono dar luogo a quattro radici reali distinte.
Opzione B.
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c) a*x^(2*3) + b*x^3 + c = 0 ≡
≡ (a = 0) & (x^3 = - c/b) oppure (a != 0) & (x^6 + b*x^3/a + c/a = 0) ≡
≡ (a = 0) & (x^3 = - c/b) oppure (a != 0) & (u^2 + b*u/a + c/a = 0)
questa è un caso particolare della precedente per n = 3, dispari; quindi di radici reali, se ne ha, ne ha una doppia o due distinte.
Per a = 0 c'è almeno una radice reale fra le tre radici cubiche di "- c/b".
Per a != 0 c'è almeno una radice reale se Δ[u^2 + b*u/a + c/a] è non negativo.
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Circa la non negatività dei tre discriminanti in esame si ha quanto segue.
* Δ[b*x^3 + c] = - (3^3)*(b*c)^2 >= 0 ≡ (b = 0) oppure (c = 0)
* Δ[u^2 + b*u/a + c/a] = (b^2 - 4*a*c)/a^2 >= 0 ≡
≡ (a < 0) & (c >= b^2/(4*a)) oppure (a > 0) & (c <= b^2/(4*a))
* Δ[a*x^(2*3) + b*x^3 + c] = - (3^6)*((a*c)^2)*(4*a*c - b^2)^3 >= 0 ≡
≡ (a < 0) & (c >= b^2/(4*a)) oppure (a = 0) oppure (a > 0) & (c <= b^2/(4*a))

A ) Vero

per il teorema fondamentale dell'algebra

per h = -2 ovviamente solo una e quindi ancora

"al più tre"

B) opzione B

Posto u = x^n

a u^2 + b u + c = 0

ha al più due radici reali distinte

che se n é pari danno luogo a 2 x 2

radici distinte opposte a coppie

Se n é dispari invece sono solo due

C) Vero, altrimenti x^3 non esiste in R

e quindi x non esiste in R.