Trova equazione circonferenza tangente all'asse y nel punto (0; 3) e con il centro C sulla retta di equazione y = x- 1. Determina poi la misura della corda AB staccata dalla circonferenza sulla retta di equazione x + y - 3 = 0 e l'equazione della circonferenza circoscritta al triangolo ABC
Risposte : x^2 + y^2 - 8x - 6y + 9 = 0; 4 rad 2; x^2 + y^2 - 4x - 2y -3 = 0.
La prima parte é quella che non riesco a risolvere. Le altre due sì. Grazie a tutti come sempre per l'aiuto e i chiarimenti.
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Livello 1
Ciao Beppe,
Ti indico allora come procederei nello svolgimento dell'esercizio per quanto riguarda le prime due domande.
Poiché la circonferenza è tangente all'asse y (retta x=0) nel punto di ordinata 3 e ricordando che il raggio della circonferenza è perpendicolare alla retta tangente nel punto di tangenza, possiamo dire che il centro C appartiene alla retta y=3 (perpendicolare ad x=0)
Le coordinate del punto C si trovano Intersecando le rette
{y=3
{y=x-1
Da cui si ricava C=(4,3)
Il raggio è la distanza di C dal punto di tangenza
R=4
Quindi l'equazione della circonferenza è
(x-4)² + (y-3)² = 16
x² + y² - 8x - 6y + 9 = 0
Determino ora i punti di intersezione della circonferenza con la retta x+y-3 = 0
{x² - 8x + (y-3)² = 0
{y - 3 = - x
Sostituendo la seconda nella prima si ottiene
2x² - 8x = 0
Da cui si ricava x=0, x=4
I punti sono quindi
A(0,3)
B(4,, - 1)
La corda:
AB = radice (32) = 4*radice (2)
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Genius II
Nell'equazione della circonferenza generica Γ in forma normale standard
* Γ ≡ (x - a)^2 + (y - b)^2 = q = r^2
ci sono tre parametri: raggio r (o q = r^2) e coordinate del centro C(a, b).
Si trova l'equazione della circonferenza trovando i tre parametri (a, b, q).
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Le tre condizioni iniziali determinano Γ
* "tangente l'asse y in T(0, 3)" → r = a, b = 3 ≡
≡ (x - a)^2 + (y - 3)^2 = a^2
* "C sulla y = x - 1" → Γ ≡ (x - (3 + 1))^2 + (y - 3)^2 = (3 + 1)^2
* "il punto T(0, 3) è su Γ" → (0 - 4)^2 + (3 - 3)^2 = 16 ≡ Vero
quindi
* C(4, 3)
* Γ ≡ (x - 4)^2 + (y - 3)^2 = 16 ≡
≡ x^2 - 8*x + y^2 - 6*y + 9 = 0
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Il sistema dei punti comuni dà
* (x + y - 3 = 0) & ((x - 4)^2 + (y - 3)^2 = 16) ≡
≡ (y = 3 - x) & ((x - 4)^2 + (3 - x - 3)^2 = 16) ≡
≡ A(0, 3) oppure B(4, - 1)
La misura della corda AB è la distanza
* |AB| = 4*√2
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Il circumcerchio del triangolo di vertici
* A(0, 3), B(4, - 1), C(4, 3)
rettangolo in C, è centrato nel punto medio dell'ipotenusa AB con raggio la metà di |AB|
* (x - 2)^2 + (y - 1)^2 = (4*√2/2)^2 ≡
≡ x^2 - 4*x + y^2 - 2*y - 3 = 0
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Genius I
