[Risolto] Esercizio cilindro

I vettori perpendicolari al piano $z=2y$, in forma implicita $2y-z=0$ sono quelli paralleli al suo vettore direttore e sono dunque del tipo $u=(0,2,-1)$.

L'ellisse ha equazioni parametriche:

{$x=-3sint$

{$y=1/\sqrt{2} cost$

{$z=sint$

Dunque consideriamo le rette passanti per il generico punto P(x,y,z) dell'ellisse e parallele al vettore $u$, in forma parametrica:

{$x=-3sint +0s$

{$y=1/\sqrt{2} cost +2s$

{$z=sint -1s$

Questa è già l'equazione parametrica del cilindro, nei parametri (s,t).

Per avere l'equazione cartesiana andiamo ad eliminare i parametri facendo un poco di sostituzioni.

Ricaviamo ad esempio $s$ dalla terza:

$ s = sint -z$

Sostituiamo nella seconda:

$y=1/\sqrt{2} cost + 2s$

$y=1/\sqrt{2} cost + 2sint - 2z$

Ora isoliamo la $t$ dalla prima:

$ sint = \frac{-x}{3}$ 

da cui possiamo scrivere anche che:

$ cost = \sqrt{1-sin^2t} = \sqrt{1-x^2/9}$

e sostituiamo sempre nella seconda:

$y=1/\sqrt{2} cost + 2sint - 2z$

$y=\frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{1-x^2/9} + 2\frac{-x}{3} - 2z$

Noemi