Ti basta calcolare il campo elettrico nei due casi tramite il teorema di Gauss.
Nel caso della sfera piena, scelta una superficie sferica di raggio $R_1<r<R_2$ abbiamo che il flusso del campo calcolato mediante la definizione e sfruttando la simmetria sferica è:
$\Phi(E) = E \cdot 4\pi r^2$
mentre usando il teorema di Gauss:
$ \Phi(E) = \frac{Q}{\epsilon_0} = \frac{\rho \frac{4}{3}\pi r^3}{\epsilon_0}$
dunque uguagliando le due espressioni:
$ E \cdot 4\pi r^2 = \frac{\rho \frac{4}{3}\pi r^3}{\epsilon_0}$
ricaviamo che:
$E(r) = \frac{\rho \frac{4}{3}\pi r^3}{4\pi r^2 \epsilon_0} = \frac{\rho r}{3\epsilon_0}$
Nel caso del guscio sferico, il flusso calcolato mediante la definizione è sempre lo stesso, mentre vediamo che nell'usare il teorema di Gauss il volume che racchiude la carica è:
$ \Phi(E_{guscio}) = \frac{Q}{\epsilon_0} = \frac{\rho' (\frac{4}{3}\pi r^3 - \frac{4}{3}\pi R_1^3)}{\epsilon_0}$
e dunque uguagliando:
$ E_{guscio} \cdot 4\pi r^2 = \frac{\rho' (\frac{4}{3}\pi r^3 - \frac{4}{3}\pi R_1^3)}{\epsilon_0}$
otteniamo:
$E_{guscio}(r) = \frac{\rho' r}{3\epsilon_0} -\frac{\rho'R_1^3}{3\pi r^2\epsilon_0}$
Anche andando ad uguagliare il campo della sfera con con quello del guscio per trovare $rho$, noti immediatamente che rimane la dipendenza dal raggio r:
$E(r) = E_{guscio}(r)$
$\frac{\rho r}{3\epsilon_0} = \frac{\rho' r}{3\epsilon_0} -\frac{\rho'R_1^3}{3\pi r^2\epsilon_0}$
$\rho(r) = \rho'-\frac{\rho'R_1^3}{\pi r^3}$
cioè è possibile fare in modo che il campo sia lo stesso, solo se la densità di carica dipende dal raggio, dunque non attraverso una densità uniforme.
Se ci pensi questo è abbastanza ovvio: la carica si distribuisce in maniera diversa tra sfera e guscio perché nella sfera è distribuita in tutto il volume, mentre nel guscio c'è tutta una parte che è vuota. Quindi una carica uniforma non può compensare la differenza di distribuzione nei due corpi.
All'esterno invece le cose si riescono a gestire perché per il teorema di Gauss sappiamo che il campo dipende solo da quanta carica abbiamo all'interno del corpo, che poi sia distribuita su una sfera o su un guscio è indifferente.
Noemi
