Esercizio Analisi Matematica su radici cubiche di un numero complesso

Il denominatore é 1. Infatti i^4 = 1 e i^32 = (i^4)^8 = 1

2*1 = 2 e e^(3 i pi) = cos pi +i sin pi = -1 e infine 2-1 = 1

Il numeratore é un prodotto. Conviene portare tutto a modulo e fase

e poi applicare la regola di De Moivre.

|1 - i rad 19|^2 = 1 + 19 = 20

2^(-20) * 7 rad(2) e^(i pi/4) * rad(2)^(40) (e^(- i pi/4))^40 =

= 7 rad(2) e^(i pi/4)

Controlla che fino a qui sia corretto e poi vediamo le radici cubiche.

Il modulo é [98^(1/2)]^(1/3) = 98^(1/6) ~ 2.1472

Il fattore di fase é e^(i * (pi/4 + 2 k pi)/3)   con k = 0, 1, 2.

octave:4> 98^(1/6)*e^(i*(pi/4+2*0*pi)/3)
ans =  2.0740 + 0.5557i
octave:5> 98^(1/6)*e^(i*(pi/4+2*1*pi)/3)
ans = -1.5183 + 1.5183i
octave:6> 98^(1/6)*e^(i*(pi/4+2*2*pi)/3)
ans = -0.5557 - 2.0740i

Le radici cubiche di z = ρ*e^(i*θ) = ρ*(cos(θ) + i*sen(θ)) sono
* w[0] = (ρ^(1/3))*(cos(θ/3 + 0*2*π/3) + i*sen(θ/3 + 0*2*π/3))
* w[1] = (ρ^(1/3))*(cos(θ/3 + 1*2*π/3) + i*sen(θ/3 + 1*2*π/3))
* w[2] = (ρ^(1/3))*(cos(θ/3 + 2*2*π/3) + i*sen(θ/3 + 2*2*π/3))
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* z = (7 + i*7)*((1 - i)^40)*2^(- |1 - i*√19|^2)/(2*i^32 + e^(i*3*π))
* |1 - i*√19|^2 = (2*√5)^2 = 20
* (1 - i)^40 = (((1 - i)^2)^2)^10 = ((- i*2)^2)^10 = (- 4)^10 = 2^20
* (7 + i*7) = 7*(1 + i)
*(7 + i*7)*((1 - i)^40)*2^(- |1 - i*√19|^2) = (35*2^22)*(1 + i)
* 2*i^32 = 2
* e^(i*3*π) = cos(3*π) + i*sen(3*π) = - 1 + i*0 = - 1
* 2*i^32 + e^(i*3*π) = 1
* z = (35*2^22)*(1 + i) = ((35*2^22)*√2)*e^(i*π/4)
* R = ((35*2^22)*√2)^(1/3) = (2^7)*√2)*35^(1/3) ~= 592
* r = R/2 = (2^6)*√2)*35^(1/3) ~= 296
* (π/4)/3 = π/12 = 15°
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* w[0] = R*(cos(π/12 + 0*2*π/3) + i*sen(π/12 + 0*2*π/3)) = r*(√(2 + √3) + i*√(2 - √3))
* w[1] = R*(cos(π/12 + 1*2*π/3) + i*sen(π/12 + 1*2*π/3)) = r*(- √2 + i*√2)
* w[2] = R*(cos(π/12 + 2*2*π/3) + i*sen(π/12 + 2*2*π/3)) = r*(- √(2 - √3)) - i*√(2 + √3))
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PROMEMORIA (forse è utile)
* x, y, ρ, θ reali
* ρ > 0
* 0 <= θ < 2*π
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Rappresentazione cartesiana: z = x + i*y [x, y reali]
Coniugato di z: z' = x - i*y
Modulo di z: |z| = ρ = |x + i*y| = √(z*z') = √(x^2 + y^2)
Argomento (o fase) di z: arg(z) = θ
* θ = π + arctg(y/x) [x < 0]
* θ = π/2 [x = 0]
* θ = arctg(y/x) [x > 0]
Formula di Eulero: e^(i*θ) = cos(θ) + i*sen(θ)
Rappresentazione polare: z = ρ * e^(i*θ) = ρ * (cos(θ) + i*sen(θ))
Potenza: z^q = (x + i*y)^q = ρ^q * e^(i*θ*q)
fine PROMEMORIA