Sia f: V —> V un endomorfismo.
v1 = (1,-1,1,0)
v2 = (0,1,0,1)
v3 = (2,1,0,0)
sono 3 vettori linearmente indipendenti appartenenti a R^4.
sia V = L (v1, v2, v3).
L’endomorfismo è dato da:
f(v1) = (2,0,0,-1)
f(v2) = (3,0,1,0)
f(v3) = (1,0,1,1)
studia l’endomorfismo f, in particolare Imf, determina Imf con equazioni cartesiane e come sistema di generatori L(…)
Svolgimento:
una base di V è rappresentata da A=[v1, v2, v3] e dim V = 3.
per costruire la matrice associata M^A (f) che è una 3x3 ci servono le componenti del vettore generico v=(x, y, z, t) appartenente a V rispetto alla base A= [v1, v2, v3].
quindi (x, y, z, t) = av1+bv2+cv3 = (a+2c, -a+b+c,a,b)
risolvendo il sistema: V= {(x, y, z, t) appartenente a R^4 tale che x-2y-3z+2t=0} e infatti dimV=4-1=3.
(Fate i calcoli per avere conferma che fin qui è giusto)
[(x,y,z,t)]A = (z,t, y+z-t)
e pertanto [f(v1)]A = [(2,0,0,-1)]A = (0,-1,1)
le altre due vengono (1,0,1) e (1,1,0) (fate i calcoli per aver conferma)
quindi la matrice associata M^A (f) ha come
prima colonna 0 -1 1
seconda colonna 1 0 1
terza colonna 1 1 0
riducendo la matrice si scopre che p=rango=2= dimImf
gli elementi specolai li ho presi nella 1ª e 2ª colonna quindi una base di Imf è [f(v1), f(v2)] = [(2, 0, 0, -1), (3,0,1,0)]
adesso per determinare le equazioni cartesiane devo scrivere questa matrice con sotto x y z t e poi ridurre?
quindi Imf= { (x,y,z,t) appartenente a R^4 tale che: x-3z+2t=0, y=0 } ? È corretto?
e per scrivere come sistema di generatori prendo 2 incognite libere, ad esempio z e t e quindi
Imf= {(3z-2t, 0, z, t)} = L((3,0,1,0),(-2,0,0,1))
giusto??? Più che altro non mi convince perché non abbiamo basi canoniche e quindi forse andavano calcolate altre componenti?? Forse questo valeva se avessimo avuto la base canonica?
qualcuno mi dia conferma se è giusto o no ed eventualmente fare i passaggi corretti…
