[Risolto] Esercizio accelerazione fisica

Un treno ha una velocità massima di 180 km/h , mentre l'accelerazione e la decelerazione massime sono di ± 0,3m/(s^2) Il treno parte da fermo per raggiungere la successiva stazione di sosta, che dista 5,0 km.

► Calcola il minimo tempo che può impiegare a percorrere la distanza che separa le due stazioni.

Sacc = 0,3/2*(180/(3,6*0,3)^2 = 4166,(6) m ...quanto basta per capire che il treno comincia a decelerare prima di aver raggiunta la velocità massima ; ciò comporta che la velocita V nel tempo sia un triangolo isoscele !!

5000/2  = a/2*tacc^2

5000 = a*tacc^2

tempo accelerazione tacc = √5.000/0,3 = 129,10 s = tempo decelerazione

tempo totale t = 129,10*2 = 258,20 s (4' 18,20'')

Vmax = a*tacc = 129,10*0,3 = 38,73 m/s 

check :

Vmax*(tacc+tdec)/2 = 38,73*129,10*2/2  = 5.000 m 

► Disegna il grafico velocità-tempo.

il grafico velocità/tempo  è un triangolo isoscele avente base (129,10*2) = 258,20 s ed altezza 38,73 m/s (139,4 km/h)

Ammesso che le accelerazioni si mantengano costanti, e non superiori in modulo a 3/10 m/s^2, sia per tutto l'intervallo d'avvio che poi per tutto quello di frenata allora il grafico velocità-tempo è un trapezio (eventualmente degenere in un triangolo se la frenata inizia subito alla fine dell'avvio) che ha
* per area la distanza percorsa di 5000 m
* per altezza la velocità V raggiunta alla fine dell'avvio non superiore a 50 m/s = 180 km/h
* per base maggiore il tempo di percorrenza (da minimizzare)
* e le pendenze dei lati obliqui pari alle accelerazioni costanti
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Il problema è di trovare la figura descritta (trapezio/triangolo) di area data e di base minima.
Con basi B > b >= 0 e altezza h > 0 l'area S del trapezio è il prodotto dell'altezza per la media delle basi
* S = h*(B + b)/2
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Il massimo modulo "m" della pendenza di un lato obliquo è minimo per il trapezio isoscele
* m = h/((B - b)/2) = 2*h/(B - b) <= 3/10
da cui
* (2*h/(B - b) <= 3/10) & (0 < h <= 50) & (B > b >= 0) ≡ B >= b + 20*h/3
che è minima per b = 0 e B = 20*h/3, quindi
* S = h*(20*h/3 + 0)/2 = 5000 ≡ h = 10*√15 m/s → B = 200*√(5/3) ~= 258.199 s ~= 4 min 18.199 s
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NOTA 1: il risultato atteso di 4 min 20 s = 260 s presenta un errore di malapprossimazione di
* 100*(260/(200*√(5/3)) - 1) ~= 0.7%
del tutto giustificabile.
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NOTA 2: il Suggerimento è una minchiata che conduce a un'assurdità.
Rispettandolo si ha per l'intervallo d'avvio
* a = 3/10 m/s^2 = accelerazione costante
* S = 0 = posizione iniziale
* V = 0 = velocità iniziale
* s(t) = (a/2)*t^2 = (3/20)*t^2
* v(t) = a*t = (3/10)*t
fino all'istante t = T > 0 in cui si ha
* v(T) = (3/10)*T = 180 km/h = 50 m/s ≡ T = 500/3 s
nella posizione
* s(T) = (3/20)*(500/3)^2 = 12500/3 = 4166.(6) m
Da quest'istante restano da percorrere in frenata 5000 - 12500/3 = 2500/3 = 833.(3) m dopo i quali la velocità dev'essere zero, cioè con
* a = accelerazione costante
* S = 12500/3 m = posizione iniziale
* V = 50 m/s = velocità iniziale
* s(t) = S + (V + (a/2)*t)*t = 12500/3 + (50 + (a/2)*t)*t = 2500/3
* v(t) = 2500/3 + a*t = 0
quindi
* (12500/3 + (50 + (a/2)*t)*t = 2500/3) & (2500/3 + a*t = 0) & (t > 0) ≡
≡ (t = 100/11 = 9.(09) s) & (a = - 275/3 = - 91.(6) m/s^2 << - 3/10 m/s^2)
e quest'assurdità darebbe il minimo tempo di percorrenza
* 500/3 + 100/11 = 5800/33 s = 2 minuti 55.76 secondi
ma sottoponendo i passeggeri a un'accelerazione di oltre 10 g, a cui sopravviverebbero solo i meglio allenati piloti di caccia intercettori e solo se avessero preso il treno indossando una tuta antigì.