Esercizio

Faccio alcune prove per farmi un'idea:
f(0)=4
f(1)=1
f(2)=6
f(3)=5
f(4)=8
f(5)=9

1)Iniettiva:
sia f(x_1)=f(x_2).
Se è così allora o x_1 e x_2 sono entrambi pari o sono entrambi dispari (dato che f(x) è pari se x è pari, è dispari se x è dispari).

sia x_1 pari =>x_1 + 4 = x_2 + 4
Per il Primo Principio di Equivalenza delle Equazioni x_1=x_2
Similmente si dimostra il caso in cui sia x_1 dispari (usando anche il Secondo Principio).

2)Cerco una funzione g(x) tale che g(f(x))=x

se x pari => f(x)=x+4 => basta porre g(x)=x-4  
se x dispari => f(x)=2x-1 => basta porre g(x)=(x+1)/2

Quindi g(x) = x-4 se x è pari, (x+1)/2 se x è dispari.

C'è però da considerare che f(x) non è suriettiva (ad esempio il 7 non appartiene all'Immagine), quindi l'inversa g(x) non ha N_0 come Dominio, ma un suo sottoinsieme.