Esercizio

Sia u1 un elemento di U e sia w1 un elemento di W.
Svogliamo la somma u1 + w1 = v1
Se U U W è un sottospazio vettoriale, necessariamente v1 appartiene a U U W.
Quindi o v1 appartiene ad U oppure v1 appartiene a W.

Supponiamo che v1 appartenga ad U.
Dato che u1 appartiene ad U, allora anche v1-u1 appartiene ad U. Cioè w1 appartiene ad U.
Dato che w1 era un elemento generico di W, si ha che qualunque elemento di W appartiene anche ad U, cioè W è sottoinsieme di U.

Similmente possiamo dimostrare che se v1 appartiene a W, allora U è sottoinsieme di W.

Quindi la tesi.

La dimostrazione "nell'altro verso" è molto semplice, prova a pensarci...

In realtà è molto più immediato...
Se W è sottospazio vettoriale di V e U è "contenuto" in W, si ha che: U U W = W e dato che W è sottospazio di V, è già dimostrata la tesi.
Similmente nell'altro caso.