[Risolto] Esercizio

Problema:

Decidere se il seguente sottoinsieme delle funzioni a valori reali sia uno spazio vettoriale:

{$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}: f(-x)=f(x) \forall x \in \mathbb{R}$}

Soluzione:

Uno spazio vettoriale deve, per definizione, possedere l'elemento neutro della somma, essere chiuso rispetto alla somma ed essere chiuso rispetto al prodotto per scalare.

Per comodità è opportuno riscrivere l'insieme come segue:

{$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}: f(-x)-f(x)=0 \forall x \in \mathbb{R}$}.

Verifica dell'appartenenza di $0_{\mathbb{R}²}$ all'insieme:

$f(-0)-f(0)=f(0)-f(0)=0$ dato che ciò è vero, l'elemento neutro rispetto alla somma appartiene all'insieme dato.

Verifica della chiusura rispetto la somma:

Se $f_1$ ed $f_2$ sono due funzioni che soddisfano $f_1(-x)=f_1(x)$ e $f_2(-x)=f_2(x)$ , allora la loro somma $(f_1+f_2)(x)=f_1(x)+f_2(x)$  deve anch'essa soddisfare $(f_1 + f_2)(-x) = (f_1 + f_2)(x)$. Ciò è vero, dunque vi è anche la chiusura rispetto alla somma.

Verifica della chiusura rispetto al prodotto per scalare:

Sia $c \in \mathbb{R}$

Dato che $f(cx)=cf(x)$, si ha che $f(-cx)-f(cx)=cf(-x)-cf(x)=c(f(-x)-f(x))=0$, vi è dunque anche la chiusura rispetto al prodotto per scalare.

Il sottoinsieme dato risulta dunque essere uno spazio vettoriale.