A) L'asse di simmetria parallelo all'asse x
* y = 4
indica equazione di forma
* Γ ≡ x = w + a*(y - 4)^2
e pendenze
* m(x) = ± 1/(2*√(a*(x - w)))
con
* apertura a != 0
* vertice V(w, 4)
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La retta tangente
* t ≡ x + 2*y - 16 = 0 ≡ y = 8 - x/2
ha pendenza m = - 1/2 e interseca l'asse y in Y(0, 8) da dove, per la richiesta tangenza, deve passare anche Γ con la medesima pendenza; cioè
* (0 = w + a*(8 - 4)^2) & (- 1/2 = ± 1/(2*√(a*(0 - w)))) ≡
≡ (w = - 16*a) & (- 1/2 = 1/(8*|a|)) ≡
≡ (a = - 1/4) & (w = 4) oppure (a = 1/4) & (w = - 4)
il che darebbe luogo a due diverse parabole
* Γ1 ≡ x = 4 - (y - 4)^2/4
* Γ2 ≡ x = (y - 4)^2/4 - 4
di cui però la Γ2, avendo la concavità verso x > 0, in Y dev'essere secante e non tangente.
Vedi al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3D8-x%2F2%2Cx%3D4-%28y-4%29%5E2%2F4%2Cx%3D%28y-4%29%5E2%2F4-4%5D
CONCLUSIONE
La parabola richiesta è
* Γ ≡ x = 4 - (y - 4)^2/4 ≡ x = - y*(y - 8)/4 ≡ x = 2*y - y^2/4
con pendenze
* m(x) = ± 1/√(4 - x)
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B) La retta per l'origine y = 2*x interseca Γ, oltre che in O(0, 0), anche in A(3, 6) dove essendo yA > 4 la pendenza è negativa
* m(3) = - 1/√(4 - 3) = - 1
quindi la richiesta tangente risulta
* r ≡ y = 6 - (x - 3) ≡ y = 9 - x
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C) La consegna, così com'è formulata, sembra proprio stupida: suggerisce la sequenza rovesciata!
Usando la definizione di "asse di simmetria" si trova dapprima l'intrsezione
* (y = 4) & (y = 9 - x) ≡ C(5, 4)
poi il punto B(3, 4 - 2) simmetrico di A(3, 4 + 2), e solo alla fine la congiungente
* BC ≡ y = x - 1
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D) Il triangolo T di vertici A(3, 6), B(3, 2), C(5, 4) ha area
* S(T) = (yA - yB)*(xC - xA)/2 = (6 - 2)*(5 - 3)/2 = 4
Il segmento parabolico retto P delimitato da Γ e dalla corda AB ha base b = yA - yB = 2 e altezza h = xV - xA = 1 e pertanto ha area, per la formula di Archimede, pari a due terzi del rettangolo circoscritto
* S(P) = (2/3)*b*h = 4/3
Quindi l'area S richiesta è
* S = S(T) - S(P) = 4 - 4/3 = 8/3
che NON COMBACIA COL RISULTATO ATTESO, ma dove ho toppato lo devi scoprire tu.
