[Risolto] Esercizio 503

@valentina_caruso

Ex.503

y = a·x^2 + b·x + c

passaggio per i punti:

[5, 4]; [1, 2];[9, 2]

{4 = a·5^2 + b·5 + c

{2 = a·1^2 + b·1 + c

{2 = a·9^2 + b·9 + c

Quindi risolvo:

{25·a + 5·b + c = 4

{a + b + c = 2

{81·a + 9·b + c = 2

ed ottengo: [a = - 1/8 ∧ b = 5/4 ∧ c = 7/8]

La parabola è:    y = - x^2/8 + 5·x/4 + 7/8

Noto che i punti B e C si trovano alla stessa quota e quindi sono simmetrici rispetto a questo asse 

x=-b/(2a) e che il punto A è il vertice della parabola stessa in quanto:

- b/(2·a) = 5/4/(1/4)------> x = - b/(2·a) = 5

Per le rette tangenti applico le formule di sdoppiamento:

[5, 4]

(4 + y)/2 = - 1/8·5·x + 5/4·(x + 5)/2 + 7/8

(y + 4)/2 = 4-----> y = 4 (al vertice la retta tangente è orizzontale)

[1, 2]

(y + 2)/2 = - 1/8·(1·x) + 5/4·(x + 1)/2 + 7/8

(y + 2)/2 = (x + 3)/2-----> y = x + 1

[9, 2]

(y + 2)/2 = - 1/8·(9·x) + 5/4·(x + 9)/2 + 7/8

(y + 2)/2 = (13 - x)/2----> y = 11 - x

Metto a sistema a due a due le rette trovate:

{y = 4

{y = x + 1

risolvo ed ottengo: [x = 3 ∧ y = 4]

{y = 4

{y = 11 - x

risolvo ed ottengo: [x = 7 ∧ y = 4]

{y = x + 1

{y = 11 - x

risolvo ed ottengo: [x = 5 ∧ y = 6]

Area triangolo=1/2·(7 - 3)·(6 - 4) = 4

Ogni parabola con
* asse di simmetria parallelo all'asse y
* apertura a != 0
* vertice V(w, h)
ha equazione della forma
* Γ ≡ y = h + a*(x - w)^2
e pendenza
* m(x) = 2*a*(x - w)
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Il sistema dei vincoli imposti dalle condizioni di passare per A(5, 4), B(1, 2), C(9, 2)
* (4 = h + a*(5 - w)^2) & (2 = h + a*(1 - w)^2) & (2 = h + a*(9 - w)^2) ≡
≡ (a = - 1/8) & (w = 5) & (h = 4)
determina
* V(5, 4) ≡ A
* Γ ≡ y = 4 - (x - 5)^2/8 ≡ y = - x^2/8 + 5*x/4 + 7/8
* m(x) = (5 - x)/4
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Le pendenze in A, B, C, con le relative tangenti, sono
* A(5, 4): m(x) = 0; tA ≡ y = 4
* B(1, 2): m(x) = 1; tB ≡ y = 2 + (x - 1) ≡ y = x + 1
* C(9, 2): m(x) = - 1; tC ≡ y = 2 - (x - 9) ≡ y = 11 - x
Vedi il grafico e il paragrafo "Solutions" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3D4-%28x-5%29%5E2%2F8%2C%284-y%29*%28y-2-%28x-1%29%29*%282-%28x-9%29-y%29%3D0%5D
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L'area S richiesta è il semiprodotto della distanza b fra le intersezioni di tA con tB e tC e la differenza h fra le ordinate dell'intersezione tB & tC e yA = 4.
Quindi
* tA & tB ≡ (y = 4) & (y = x + 1) ≡ P(3, 4)
* tA & tC ≡ (y = 4) & (y = 11 - x) ≡ Q(7, 4)
* b = 4
* tB & tC ≡ (y = x + 1) & (y = 11 - x) ≡ R(5, 6)
* h = 2
* S = 4
http://www.wolframalpha.com/input?i=triangle%283%2C4%29%287%2C4%29%285%2C6%29