Scrivi l'equazione dell'ellisse con fuochi sull'asse delle ordinate, un vertice in A(3,0) ed eccentricità 𝑒= radq2/2.
Successivamente calcola l'area dei rettangoli inscritti nell'ellisse aventi perimetro che misura 20.
Scrivi l'equazione dell'ellisse con fuochi sull'asse delle ordinate, un vertice in A(3,0) ed eccentricità 𝑒= radq2/2.
Successivamente calcola l'area dei rettangoli inscritti nell'ellisse aventi perimetro che misura 20.
Essendo un vertice in A(3,0) e i fuochi sull'asse y, il secondo vertice ha coordinate ( - 3, 0).
Quindi data l'ellisse di equazione:
(x² / a²) + (y² / b²) = 1
con:
b² > a²
e = radice (b² - a²) / b
Risulta quindi: a² = 9
e= [radice (b² - a²)] /b = radice (2)/2
Da cui si ricava:
(b² - 9)/b² = 1/2
b²=18
L'equazione dell'ellisse è quindi:
x² /9 + y² /18 = 1
Determino ora l'area dei rettangoli aventi perimetro uguale a 20
Il generico vertice P del rettangolo inscritto (P appartiene alla conica) ha coordinate:
P= (xP , radice [18*(1 - (xP² / 9))]
0 < xP < 3
Vista la simmetria dell'ellisse rispetto agli assi, se vogliamo che il perimetro del rettangolo sia 20, dobbiamo imporre che:
xP + yP = 5
La somma dell'ascissa e dell'ordinata di P è 1/4 di perimetro del rettangolo.
Imponendo la condizione si ottiene:
radice (18 - 2*xP²) = (5 - xP)²
3xP² - 10xP + 7 = 0
Da cui si ricava:
xP= 1
xP= 7/3
Sostituendo i valori nell'ordinata del punto P ricavo i corrispondenti valori di yP
xP=1 ; yP =4
xP= 7/3 ; yP= 8/3
Ovviamente abbiamo quindi due rettangoli di cui possiamo calcolare le superfici.
S1=2*8 = 16
S2=14/3 * (16/3) = 224/9
Forse oggi lo risolvo facilmente perché per un anno ho letto i tuoi svolgimenti!
Con riferimento alla figura possiamo procedere nel seguente modo.
x^2/9 + y^2/18 = 1
La risolviamo in y:
y = - √2·√(9 - x^2) ∨ y = √2·√(9 - x^2)
Sfruttiamo quindi la doppia simmetria della ellisse e concentriamoci nel 1° quadrante:
[x, √2·√(9 - x^2)] con 0 < x < 3 abbiamo quindi un suo punto
perimetro rettangolo richiesto è:
4·x + 4·√2·√(9 - x^2) = 20
quindi risolviamo:
√2·√(9 - x^2) = 5 - x
eleviamo al quadrato:
2·(9 - x^2) = (x - 5)^2
18 - 2·x^2 = x^2 - 10·x + 25
3·x^2 - 10·x + 7 = 0
x = 7/3 ∨ x = 1
quindi nel primo quadrante si ottengono 2 possibilità:
[7/3, √2·√(9 - (7/3)^2)]-------> [7/3, 8/3]
[1, √2·√(9 - 1^2)]--------> [1, 4]
Per cui gli altri punti di figura.