Esercizio 3^professionale

@eusebio940

Ciao e benvenuto.

Ricordati di mettere le parentesi:

x^2/(2·k - 1) + y^2/(k^2 - 4) = 1

a. un'ellisse o una circonferenza

deve essere:

{2·k - 1 > 0

{k^2 - 4 > 0

risolvi il sistema ed ottieni: [k > 2]

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b. un'ellisse con i fuochi sull'asse x o sull'asse y

Deve essere:

{k > 2

{2·k - 1 > k^2 - 4

Risolvi il sistema ed ottieni: [2 < k < 3] fuochi sull'asse x

Oppure:

{k > 2

{2·k - 1 < k^2 - 4

Risolvi il sistema ed ottieni: [k > 3] fuochi sull'asse delle y

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c. un'ellisse con i fuochi sull'asse x di eccentricità √7/4

Bisogna ricordare che:

c = √(a^2 - b^2) semidistanza focale dell'ellisse

e = c/a =√7/4--------> e^2 = (√7/4)^2------> e^2 = 7/16

Quindi devi risolvere il sistema:

{2 < k < 3

{7/16 = ((2·k - 1) - (k^2 - 4))/(2·k - 1)

L'equazione fratta comporta come soluzione:

7/16 = (k^2 - 2·k - 3)/(1 - 2·k)-----> k = - 11/8 ∨ k = 5/2

La prima è da scartare!

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d. un'ellisse con fuoco di coordinate (0; √5)

Quindi fuoco su asse y e semidistanza focale=√5

Quindi risolvi:

{k>3

{5=(k^2 - 4)-(2·k - 1)

Le soluzioni della seconda sono:5 = k^2 - 2·k - 3

k = 4 ∨ k = -2

La seconda si scarta!

LA STITICHEZZA PARENTETICA E OPERATORIA GENERA ESPRESSIONI EQUIVOCHE.
* "x^2/2k-1" vale per (x^2/2)*k - 1, (x^2/2)*(k - 1), (x^2/(2*k)) - 1, o x^2/(2*k - 1)?
* "y^2/k^2-4" vale per (y/k)^2 - 4 o y^2/(k^2 - 4)?
* "radq7/4" vale per √7/4 o per √(7/4)?
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LE PARENTESI LE METTO IO, ARBITRARIAMENTE: l'equazione è assai simile alla forma normale standard delle coniche a centro
* Γ ≡ (x/a)^2 ± (y/b)^2 = ± 1
dove i semiassi (a, b) sono costanti, quindi interpreto quell'orribile stringa come
* Γ(k) ≡ x^2/(2*k - 1) + y^2/(k^2 - 4) = 1
dove però i quadrati dei semiassi (a^2, b^2) sono tutt'altro che costanti.
Si devono perciò escludere i valori k in {1/2, ± 2} che annullerebbero un denominatore.
Quindi il fascio di coniche si può anche rappresentare con il sistema
* Γ(k) ≡ ((k^2 - 4)*x^2 + (2*k - 1)*y^2 - (k^2 - 4)*(2*k - 1) = 0) & (k != 1/2) & (|k| != 2)
sul cui primo congiunto si possono esaminare gli effetti dei "giochi proibiti".
* per k = - 2: y = 0
* per k = 1/2: x = 0
* per k = + 2: y = 0
e gli assi coordinati non sono coniche neanche degeneri: sono di primo grado.
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Nelle equivalenze fra le quattro categorie della forma standard con le condizioni su k devi aver presente che in Γ(k) il secondo membro non ha il doppio segno.
Le quattro categorie sono
0) (x/a)^2 - (y/b)^2 = - 1 ≡ (2*k < 1) & (k^2 > 4) ≡ k < - 2: iperbole con asse y focale
1) (x/a)^2 - (y/b)^2 = + 1 ≡ (2*k > 1) & (k^2 < 4) ≡ 1/2 < k < 2: iperbole con asse x focale
2) (x/a)^2 + (y/b)^2 = - 1 ≡ (2*k < 1) & (k^2 < 4) ≡ - 2 < k < 1/2: ellisse immaginaria
3) (x/a)^2 + (y/b)^2 = + 1 ≡ (2*k > 1) & (k^2 > 4) ≡ k > 2: ellisse reale
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Nel caso dell'ellisse reale (k > 2) si distinguono tre sottocasi sulla relazione fra i semiassi
3a) a < b ≡ (2*k - 1 < k^2 - 4) & (k > 2) ≡ k > 3: ellisse reale con asse y focale
3b) a = b ≡ (2*k - 1 = k^2 - 4) & (k > 2) ≡ k = 3: circonferenza reale
3c) a > b ≡ (2*k - 1 > k^2 - 4) & (k > 2) ≡ 2 < k < 3: ellisse reale con asse x focale
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Semidistanza focale c ed eccentricità e
3a) a < b → c = √(b^2 - a^2); e = c/b = √(1 - (a/b)^2)
3c) a > b → c = √(a^2 - b^2); e = c/a = √(1 - (b/a)^2)
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La distinzione di casi su k risulta
* k < - 2: iperbole con asse y focale
* - 2 < k < 1/2: ellisse immaginaria
* 1/2 < k < 2: iperbole con asse x focale
* 2 < k < 3: ellisse reale con asse x focale
* k = 3: circonferenza reale
* k > 3: ellisse reale con asse y focale
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RISPOSTE AI QUESITI
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a. un'ellisse o una circonferenza
* (- 2 < k < 1/2 [immaginaria]) oppure (k > 2 [reale])
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b. un'ellisse con i fuochi sull'asse x o sull'asse y
* (k > 2) & (k != 3)
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c. un'ellisse con i fuochi sull'asse x di eccentricità radq7/4.
* (2 < k < 3) & (e = √(1 - (b/a)^2) = √(1 - (2*k - 1)/(k^2 - 4)) = "radq7/4")
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d. un'ellisse con fuoco di coordinate (0; radq5)
* (k > 3) & (c = √(b^2 - a^2) = √((k^2 - 4) - (2*k - 1)) = √(k^2 - 2*k - 3) = "radq5") ≡
≡ (k > 3) & (√(k^2 - 2*k - 3) = √5) ≡
≡ k = 4