ESERCIZIO 30

e^(-5730/Tau) = 1/2

5730/Tau = ln(2)

Tau = 5730/ln(2) = 8267

Io scrivo solo a tastiera, senza LaTeχ; perciò me la cavo male con le formule eleganti.
Preferisco ridefinirmi la simbologia.
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DECADIMENTO ESPONENZIALE
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NOMI SIMBOLICI
* t = anni dall'inizio
* τ = costante di tempo del decadimento (vita media)
* a = 1/τ = tasso di decadimento
* T = tempo di dimezzamento
* b = 1/T = tasso di dimezzamento
* N = popolazione iniziale (al tempo t = 0)
* n(t) = popolazione corrente (al tempo t > 0)
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MODELLO MATEMATICO
* n(t) = N*e^(- t/τ) = N*e^(- a*t) = N*2^(- t/T) = N*2^(- b*t)
in ciascuna delle quattro forme ci sono solo due parametri da determinare, di cui N è uno.
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ESERCIZIO
Dato T = 5730 si chiede di stimare un'approssimazione all'intero di τ, per ottenere la quale occorre e basta risolvere in τ l'equazione
* N*e^(- t/τ) = N*2^(- t/T) ≡ τ = T/ln(2) = 5730/ln(2) ~= 8266.64 ~= 8267
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DETTAGLI
* N*e^(- t/τ) = N*2^(- t/T) ≡
≡ e^(- t/τ) = 2^(- t/T) ≡
≡ ln(e^(- t/τ)) = ln(2^(- t/T)) ≡
≡ - t/τ = (- t/T)*ln(2) ≡
≡ 1/τ = ln(2)/T ≡
≡ τ = T/ln(2)

0,5 = e^-t/Ƭ

-t/Ƭ*ln e = ln 0,5

t/Ƭ = 0,6931

per t = 5.730 si ha :

Ƭ = 5.730/0,6931 = 8.267,2 anni