Dimostra che la funzione $y=x^3+a x^2-x+1$ ammette per qualunque valore di $a$ un punto di massimo e un punto di minimo relativo.
Dimostra che la funzione $y=x^3+a x^2-x+1$ ammette per qualunque valore di $a$ un punto di massimo e un punto di minimo relativo.
y = x^3 + a·x^2 - x + 1
Una qualsiasi cubica è illimitata sia superiormente che inferiormente (vedi condizioni agli estremi del C.E. : limiti). I punti eventuali di stazionarietà si trovano imponendo le C. N.:
y'=0-----> 3·x^2 + 2·a·x - 1 = 0
Risolvendo l'equazione si ottengono 2 valori distinti:
x = (√(a^2 + 3) - a)/3 ∨ x = - (√(a^2 + 3) + a)/3
per qualsiasi valore di a in quanto il radicando che in esse compare risulta essere sempre positivo.
Quindi due valori distinti di stazionarietà in una cubica corrispondono sempre ad un max ed ad un min relativo.