[Risolto] Esercizio

Il testo fornisce una soluzione, io ottengo 2 soluzioni.

In base al testo si deve avere:

{x = 10·y + 16

{5·x = 2·y^2 + 280

avendo indicato con

x= N° naturale maggiore (dividendo)

y= N° naturale minore (divisore)

Quindi risolvendo il sistema (di secondo grado) si ottiene:

[x = 66 ∧ y = 5, x = 216 ∧ y = 20]

La soluzione che dà il testo è indicata in grassetto e può essere verificata in base alle equazioni date inizialmente.

Verifica:  x = 216 ∧ y = 20

{216 = 10·20 + 16

{5·216 = 2·20^2 + 280

quindi:

{216 = 216 OK!

{1080 = 1080 OK!

Anche l'altra soluzione va bene:

Verifica:  x = 66 ∧ y = 5

{66 = 10·5 + 16

{5·66 = 2·5^2 + 280

quindi:

{66 = 66 OK!

{330 = 330 OK!

va bene nel senso che soddisfa le equazioni contemporaneamente. Però bisogna ricordare che il resto di una divisione fra numeri naturali non può essere maggiore del divisore.

La cosa invece succede per la prima coppia di valori perché y^2=25 è il divisore mentre il resto è 280.

Quindi l'unica soluzione possibile è quella indicata nel testo ed evidenziata in grassetto.

x / y = 10 con resto 16;  (1)

5x / y^2 = 2 con resto 280; (2).

Diventano:

x = 10  y + 16; (1);

5x = 2 y^2  + 280; (2).

Sostituiamo la x della  (1), nella (2);

5 * (10 y + 16) = 2y^2 + 280;

50y + 80 = 2y^2 + 280;

2y^2 - 50y + 280 - 80 = 0;

2y^2 - 50y + 200 = 0;

Dividiamo per 2:

y^2 - 25 y + 100 = 0;

formula risolutiva:

y = [+ 25 +-radice(25^2 - 4 * 100) ] / 2;

y = [+ 25 +- radice(225)]:2;

y1 = [+ 25 + 15] / 2 = 20;

y2 = [+ 25 - 15] / 2 = 5.

y1 = 20;

x = 10  y + 16;

Prima soluzione:

x1 = 10 * 20 + 16 = 216;

y1 = 20

Seconda soluzione

y2 = 5;

x2 = 10 * 5 + 16 = 66.

Questa seconda non va bene perché non soddisfa in modo corretto la seconda condizione:

5x / y^2 non fa 2 con resto 280.

5 * 66 / 5^2 = 330 / 25 = 13 con resto di 5.

ciao @clio