Esercizio 2

$f(x)=e^{\sqrt{x+1}}$

• Dominio = [-1, +∞)
  • La funzione f(x) è continua in tutto il suo dominio
  • La funzione f(x) è continua in (-1, +∞)

• Monotonia.
  • La funzione f(x) è monotona strettamente crescente essendo composizione di due funzioni strettamente crescenti

• Immagine f(x)
  • Valore minimo dell'Immagine. f(-1) = 1.
  • ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=+\mathrm{\infty }}$
  • Applicando il teorema dei valori intermedi (IVT)possiamo affermare che 
    • • Imm f(x) = [1, +∞)
      • cioè tutti i punti dell'intervallo sono immagine di qualche x tramite la f(x) 
      • Il teorema ci assicura che sono tutti i punti e non qualcuno.

• Invertibilità.
  • Iniettività. E' assicurata dal fatto che è monotona strettamente crescente
  • Suriettività. Una funzione è sempre suriettiva sulla sua Immagine, non è così sul Codominio.
  • La funzione f(x) è quindi bigettiva dal dominio alla sua immagine, quindi è invertibile.

• Inversa.
  • Non so che metodo usi, a me piace quello insegnato in USA e cioè:

1. Scrivi la funzione nella forma: $y=e^{\sqrt{x+1}}$
2. Scambia tra loro le variabili:  $x=e^{\sqrt{y+1}}$
3. Risolvi in y.

$x=e^{\sqrt{y+1}}$

$ln(x)=\sqrt{y+1}$

$l{n}^2(x)=y+1$

$y=l{n}^2(x)-1$ questa è la funzione inversa che può essere indicata come

$f^{-1}(x)=l{n}^2(x)-1$