[Risolto] Esercizio.

Ciao,

Scriviamo l’equazione del fascio di rette passanti per P:

$y-4=m(x-0)$

$y-4=mx$

Scriviamo il sistema formato dalle equazioni del fascio e della parabola:

$\begin{cases}y-4=mx \\  y=-x^2-x\end{cases}$

Per sostituzione otteniamo la seguente equazione risolvente di secondo grado:

$-x^2-x-4=mx$

$-x^2-x-mx-4=0$

$x^2+x+mx+4=0$

$x^2+(1+m)x+4=0$

Calcoliamo $\Delta$:

$\Delta= (1+m)^2-4(4)=1+2m+m^2-16=m^2+2m-15$

Poniamo la condizione di tangenza, ossia $\Delta=0$:

$m^2+2m-15=0$

$ \Delta_{m}=2^2-4(-15)=4+60=64$

$ m_{1,2} =\frac{-2\pm\sqrt{64}}{2}=\frac{-2\pm8}{2}$

$ m_{1} =\frac{-2-8}{2}=\frac{-10}{2}=-5$

$ m_{2} =\frac{-2+8}{2}=\frac{6}{2}=3$

Otteniamo le soluzioni $m_1=-5$ e $m_2=3$ a cui corrispondono le due rette tangenti:

$t_1: y=-5x+4$

$t_2: y=3x+4$

Per determinate le coordinate dei punti di coatto poniamo a sistema l'equazione della parabola con ciascuna equazione delle rette tangenti.

$\begin{cases}y=-x^2-x \\y=-5x+4\end{cases}$

Per sostituzione si ottiene:

$-5x+4=-x^2-x$

$x^2-5x+x+4=0$

$x^2-4x+4=0$

$ \Delta=4^2-4(4)=16-16=0$

$ m_{1,2} =\frac{4}{2}=2$

Quindi:

$\begin{cases}x=2 \\y=-6\end{cases}$$\Rightarrow A(2,-6)$

$\begin{cases}y=-x^2-x \\y=3x+4\end{cases}$

Per sostituzione si ottiene:

$3x+4=-x^2-x$

$x^2+3x+x+4=0$

$x^2+4x+4=0$

$ \Delta=4^2-4(4)=16-16=0$

$ m_{1,2} =-\frac{4}{2}=-2$

Quindi:

$\begin{cases}x=-2 \\y=-2 \end{cases}$$\Rightarrow B(-2,-2)$

saluti ?