[Risolto] Esercizio

In casi come questo conviene di solito procedere alla rovescia: prima trovare una soluzione generica, possibilmente simbolica; poi, su questa, discutere le condizioni.
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Il fascio proprio centrato in C(0, 1)
* r(b) ≡ x + b*y - b = 0
è definito per ogni b, col solo caso particolare dell'asse y
* r(0) ≡ x = 0
e, per b != 0, con le rette generiche
* r(b) ≡ y = 1 - x/b
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Il fascio improprio delle parallele all'asse y
* s(b) ≡ (b + 4)*x = 5
è indefinito solo per b = - 4 (che dà la contraddizione 0 = 5) e, per b != - 4, si ha
* s(b) ≡ x = 5/(b + 4)
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Il sistema
* (x + b*y - b = 0) & ((b + 4)*x = 5) & (b != - 4)
dà l'intersezione, simbolica nel parametro b,
* P(5/(b + 4), (b + 5)*(b - 1)/(b*(b + 4))) & (b != - 4) & (b != 0)
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a) Per avere P(1, y) s'impone il vincolo
* 5/(b + 4) = 1 ≡ b = 1
da cui
* r(1) ≡ y = 1 - x/1 ≡ y = 1 - x
* s(1) ≡ x = 5/(1 + 4) ≡ x = 1
* P(5/(1 + 4), (1 + 5)*(1 - 1)/(1*(1 + 4))) = (1, 0)
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b) Per avere P(- 5, y) s'impone il vincolo
* 5/(b + 4) = - 5 ≡ b = - 5
da cui
* r(- 5) ≡ y = 1 - x/(- 5) ≡ y = 1 + x/5
* s(- 5) ≡ x = 5/(- 5 + 4) ≡ x = - 5
* P(5/(- 5 + 4), (- 5 + 5)*(- 5 - 1)/((- 5)*(- 5 + 4))) = (- 5, 0)

Ciao di nuovo.

Mi serve il sistema in entrambi i due casi:

{x + b·y - b = 0

{(b + 4)·x = 5

risolvo ed ottengo:

[x = 5/(b + 4) ∧ y = (b^2 + 4·b - 5)/(b·(b + 4))]

Quindi:

{x = 5/(b + 4)

{x = 1

risolvo ed ottengo: [x = 1 ∧ b = 1]

Quindi:

y = (b^2 + 4·b - 5)/(b·(b + 4))------> y = (1^2 + 4·1 - 5)/(1·(1 + 4))----> y = 0

(1,0)

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Analogamente:

{x = 5/(b + 4)

{x + 5 = 0

risolvo ed ottengo: [x = -5 ∧ b = -5]

Quindi:  y = ((-5)^2 + 4·(-5) - 5)/((-5)·(-5 + 4))-----> y = 0

(-5,0)