Esercizio

Consideriamo dapprima la matrice A dei coefficienti, di seguito considereremo la matrice completa A'.

$ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ k & 1 & 1 \\0&1&1-k \end{pmatrix} $

il suo determinante vale $ det A = 1-k-1-k(1-k) = k^2 - 2k $

1.  Se k ≠ 0 oppure k ≠ 2 allora det A ≠ 0  ⇒ rango(A) = 3. Il rango(A') ≤ 3 quindi 

rango(A) = rango(A') = 3

   1.1  per il teorema di Rouche-Capelli il sistema è possibile

   1.2 essendo il numero delle incognite n eguale ai due ranghi il sistema è determinato, cioè esiste una e una sola soluzione.

2.  Se k = 0 la matrice A diventa

$ A_0 = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\0&1&1 \end{pmatrix} $   

ripetendo i passaggi precedenti risulta rango(A_0) = 2

la matrice A' diventa

$ A'_0 = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 &1 \\0&1&1&1 \end{pmatrix} $

due colonne eguali senza calcoli possiamo affermare che rango(A'_0) = rango(A) = 2 

   2.1  per il teorema di Rouche-Capelli il sistema è possibile

   2.2  il sistema ammette n - rango(A_0) = 3 - 2 infinite soluzioni (∞¹).

3.  Se k = 2 la matrice A diventa

$ A_0 = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \\0&1&-1 \end{pmatrix} $   

ripetendo i passaggi precedenti risulta rango(A_2) = 2

la matrice A' diventa

$ A_0 = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 &-1 \\0&1&1&1 \end{pmatrix} $

calcolando il determinante della matrice senza la seconda colonna possiamo affermare che rango(A'_0) = 3 

   3.1  per il teorema di Rouche-Capelli il sistema è impossibile

Conclusione. Il sistema ammette una unica soluzione per ogni valore di k reale con l'esclusione di k=0 e k =2.