La matrice è diagonalizzabile se la molteplicità algebrica degli autovalori è uguale a quella geometrica. in questo caso potremmo pensare che basti ottenere 3 autovalori distinti. Un autovalore è chiaramente $\lambda_1=1$, come si evince guardando la prima riga. quindi basta studiare gli autovalori della sottomatrice formata dagli elementi 2-2, 2-3, 3-2, 3-3,
Pertanto vanno studiate le radici in $\lambda$ del polinomio
$(t-\lambda)^2-t(1-t)=0$
al variare del parametro $t$
Si giunge a:
$\lambda_2=t+\sqrt{t(1-t)}$
e
$\lambda_3=t-\sqrt{t(1-t)}$
Per l'esistenza della radice quadrata risulta che $0 \leq t \leq 1$
Il valore $t=0$ restituisce $\lambda_2=\lambda_3=0$ e a questo punto avresti un autovalore con molteplicità agebrica pari a $2$. Andrebbe studiata la molteplicità geometrica, ma è semplice vedere che la molteplicità geometrica è anch'essa pari a 2, quindi il valore $t=0$ va bene.
Anche il valore $t=1$ restituisce $\lambda_2=\lambda_3=1$. Adesso la molteplicità algebrica è pari a 3. La molteplicità geometrica (te lo lascio per esercizio) purtroppo è pari a 2 e quindi questo valore non va bene.
Per tutti i restanti valori accettabili di $t$ ottieni tre autovalori distinti e quindi la matrice risulta diagonalizzabile.
Spero di non avere sbagliato i conti...
