Esercizio

Dato che la base di $V$ è $\{v_1, v_2, v_3\}$, deduciamo dalla matrice A che:

$ Av_1 = \begin{pmatrix}2 \\3\end{pmatrix}$

$ Av_2 = \begin{pmatrix}-1 \\2\end{pmatrix}$ 

$ Av_3 = \begin{pmatrix}1 \\-3\end{pmatrix}$

che sono le tre colonne della matrice A.

Di conseguenza:

$Av_1'=A(v_2+v_3)=Av_2+Av_3=\begin{pmatrix}-1 \\2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1 \\-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\-1\end{pmatrix}$

$Av_2'=A(v_1+v_3)=Av_1+Av_3=\begin{pmatrix}2 \\3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1 \\-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 \\0\end{pmatrix}$

$Av_3'=A(v_1+v_2)=Av_1+Av_2=\begin{pmatrix}2 \\3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 \\5\end{pmatrix}$

E la matrice $A'$ rispetto alla nuova base $\{v_1', v_2', v_3'\}\rightarrow\{w_1, w_2\}$ è:

$ A' = \begin{pmatrix}0 & 3 & 1 \\-1 & 0 & 5\end{pmatrix}$

Ora per passare da $\{w_1,w_2\}\rightarrow\{w_1',w_2'\}$ abbiamo la matrice $P$:

$\begin{pmatrix}w_1' \\w_2' \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\frac{1}{2} &\frac{1}{2}\\\frac{1}{2} &-\frac{1}{2} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}w_1 \\w_2 \end{pmatrix}$

Dunque per ottenere $A^{2}$ ci basta moltiplicare:

$A^{2} = PA'$

$A'' = \begin{pmatrix}\frac{1}{2} &\frac{1}{2}\\\frac{1}{2} &-\frac{1}{2} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 3 & 1 \\-1 & 0 & 5\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}-\frac{1}{2} & \frac{3}{2} & 3 \\ \frac{1}{2}& \frac{3}{2}& -2\end{pmatrix}$

Noemi