Esercizio

Dovremmo partire da

a(1 1 1) + b(3 t 3) + c(4 t -t) = (0 0 0)

a + b + c = 0

a + bt + ct = 0

a + 3b - ct = 0

dalla prima

a = -3b - 4c

e sostituendo

- 3b - 4c + bc + ct = 0

-3b - 4c + 3b - ct = 0

la seconda é

c(t + 4) = 0

Per cui se t = -4, c é qualsiasi

e -3b - 4c - 4b - 4c = 0

da cui ancora

-7b = 8c

b = - 8/7 c

a = 24/7 c - 4c = -4/7 c

posto allora c = -7, a = 4 e b = 8

per cui 4 v1 + 8v2 - 7v3 = 0

e quindi se t = -4 il rango é 2

Se invece t =/= -4

allora c(t + 4) = 0 significa c = 0

e b(t - 3) + c(t - 4) = 0

significa b(t - 3) = 0

per cui se t = 3 allora c é qualsiasi e

a = -3b - 4c = - 3b

Così (a b c) = (-3 1 0) e - 3v1 + v2 = 0

per cui per t = 3 il rango é 2

infatti i vettori sono

(1 1 1) (3 3 3) (4 3 -3)

e il secondo si può eliminare essendo multiplo del primo.

Sai proseguire ?

Ti resta da controllare che per qualunque altro valore di t il rango é 3

e questo é facile

infatti

{ c(4 + t) = 0

{ b(t - 3) + c(t - 4) = 0

{ a = -3b - 4c

Se t non é -4 dalla prima c = 0

per cui nella seconda b(t - 3) = 0

e se t non é 3 allora b = 0

e a = -3*0 - 4* 0 = 0

Allora av1 + bv2 + cv3 = 0 => a = 0, b = 0, c = 0

per cui v1 v2 v3 sono linearmente indipendenti

ed il rango della matrice assegnata é 3.