Dimostrare che im $L_A$ è il sottospazio vettoriale generato dalle colonne di $A$.
Avrei bisogno di aiuto in questa dimostrazione di geoemtria1
Dimostrare che im $L_A$ è il sottospazio vettoriale generato dalle colonne di $A$.
Avrei bisogno di aiuto in questa dimostrazione di geoemtria1
Sia $L_A$ applicazione lineare associata alla matrice $A$ tc:
$L_A:\begin{array}{rcl}
\mathbb{R}^n &\longrightarrow&\mathbb{R}^m \\
v &\longrightarrow& Av
\end{array}$
con $A\in M_{m\times n}$
L'immagine dell'applicazione lineare è dunque:
$Im(L_A)=\{w\in\mathbb{R}^m: Av=w\}$
Consideriamo la base canonica di $\mathbb{R}^n$: $<e_1,...,e_n>$.
Si osserva facilmente che:
$ Ae_k = A^{(k)}$
cioè moltiplicando la matrice $A$ per il k-esimo vettore della base canonica, si ottiene la k-esima colonna di $A$.
Sia dunque $w\in Im(L_A)$. Possiamo dire allora che $\exists v \in \mathbb{R}^n$ tc $Av=w$
Possiamo però scrivere $v$ come combinazione lineare dei vettori della base canonica:
$ w=Av=A(a_1e_1+...+a_n e_n)$
Per la linearità:
$ w= a_1(Ae_1)+...+a_n(Ae_n)$
da cui, per quanto detto prima:
$ w = a_1A^{(1)}+...+a_n A^{(n)}$
e dunque $w$ è combinazione lineare delle colonne di A.
Dunque $Im(L_A)$ è il sottospazio generato dalle colonne (linearmente indipendenti) di A.
Noemi