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[Risolto] Esercizio

  

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Dimostrare che im $L_A$ è il sottospazio vettoriale generato dalle colonne di $A$.

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Avrei bisogno di aiuto in questa dimostrazione di geoemtria1

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Sia $L_A$ applicazione lineare associata alla matrice $A$ tc:

$L_A:\begin{array}{rcl}
\mathbb{R}^n &\longrightarrow&\mathbb{R}^m \\
v &\longrightarrow& Av
\end{array}$

con $A\in M_{m\times n}$

L'immagine dell'applicazione lineare è dunque:

$Im(L_A)=\{w\in\mathbb{R}^m: Av=w\}$

Consideriamo la base canonica di $\mathbb{R}^n$: $<e_1,...,e_n>$.

Si osserva facilmente che:

$ Ae_k = A^{(k)}$

cioè moltiplicando la matrice $A$ per il k-esimo vettore della base canonica, si ottiene la k-esima colonna di $A$.

Sia dunque $w\in Im(L_A)$. Possiamo dire allora che $\exists v \in \mathbb{R}^n$ tc $Av=w$

Possiamo però scrivere $v$ come combinazione lineare dei vettori della base canonica:

$ w=Av=A(a_1e_1+...+a_n e_n)$

Per la linearità:

$ w= a_1(Ae_1)+...+a_n(Ae_n)$

da cui, per quanto detto prima:

$ w = a_1A^{(1)}+...+a_n A^{(n)}$

e dunque $w$ è combinazione lineare delle colonne di A.

Dunque $Im(L_A)$ è il sottospazio generato dalle colonne (linearmente indipendenti) di A.

 

Noemi

 



Risposta
SOS Matematica

4.6
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