Esercizio

Per stabilire se una relazione è d'ordine, bisogna verificare che sia:

- riflessiva

- antisimmetrica

- transitiva

Analizziamole una ad una:

1) Riflessività: 

$x\preceq x$ se x=x \vee 2x<3x$

Dato che $x=x$ è sempre verificata, allora $x\preceq x$ e dunque vale la riflessività.

2) Antisimmetrica:

Sia $x\preceq y$, allora $x=y \vee 2x<3y$ e $y\preceq x$ allora $y=x \vee 2y<3x$

Se fosse vero che $x=y$ e dunque anche che $y=x$, automaticamente avremmo l'antisimmetria.

Supponiamo però che $2x<3y$, con $x\neq y$ allora avremmo $x<\frac{3}{2}y$.

Nella seconda avremmo allora:

$2y<3x<\frac{9}{2}y$

da cui $ y>0$ che non vale dunque $\forall y$.

dunque se valgono entrambe le implicazioni, dev'essere $x=y$ e dunque vale l'antisimmetrica.

3) Transitiva:

Sia 

$x\preceq y \implies x=y \vee 2x<3y$

e 

$y\preceq z \implies y=z \vee 2y<3z$

Distinguiamo due casi:

- Se fosse $x=y$ allora nella seconda avremmo $x=y=z \vee 2x=2y<3z$ e dunque $x\preceq z$

- Se fosse $2x<3y$ allora $x<\frac{3}{2}y$.

In questo caso abbiamo che:

- Se $y=z$ allora $x<\frac{3}{2}y=\frac{3}{2}z \implies 2x<3z$ e dunque $x\preceq z$

- Se $2y<3z$ per cui $y<\frac{3}{2}z$ allora $x<\frac{3}{2}y<\frac{9}{4}z$ da cui $4x<9z$ e quindi $2x<\frac{9}{2}z$

In questo caso però non possiamo concludere che $2x<3z$, dunque non si può dire che vale la transitività e dunque la relazione non è d'ordine