Esercizio

Consideriamo $f_V: V\rightarrow \mathbb{R}^{250}$ che è la restrizione di $f$ al sottospazio $V$, pe rcui $f(v)=f_V(v)$ se $v\in V$.

Nota che quindi $ker(f_V) = ker(f)\cap V$, dunque possiamo dire che $dim(ker(f_V))=50$.

D'altra parte per il teorema dimensionale sappiamo che:

$ dimV = dim(Ker(f_V))+dim(Im(f_V))$

e dunque:

$dim(Im(f_V))=dimV-dim(Ker(f_V)) = 300 - 50 = 250$

ma allora $Im(f_V)=\mathbb{R}^{250}$ e dunque $f$ è suriettiva.

Nota che 250 è il massimo rango che può avere l'applicazione $f$ ($f$ si può pensare come una matrice 250x350, dunque ha al massimo rango pari alla dimensione più piccola), e dunque dev'essere proprio

$rank(f)=250$

D'altra parte poiché 

$ dim(V)=dim(Kerf)+dim(Imf)$

allora 

$ dim(Kerf)= dimV - dim(Imf) = 350 - 250 = 100$

Infine per la formula di Grassman:

$dim(V+Kerf)=dimV+dimKerf-dim(V\cap Kerf) = 300 +100-50=350$

Noemi