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$xRy \leftrightarrow x=y \vee x,y\in N_0$

Per essere una relazione di equivalenza, dev'essere riflessiva, simmetrica e transitiva.

1) Riflessiva:

Se $xRx$ vuol dire che $x=x \vee x\in N_0$.

Poiché $x=x$ $\forall x$, allora $xRx$ e dunque è riflessiva.

2) Simmetrica:

Sia $xRy$, allora $x=y \vee x,y\in N_0$.

Se $x=y$ allora anche $y=x$ e dunque $yRx$.

D'altra parte se $x,y\in N_0$ allora automaticamente $yRx$. 

Dunque è simmetrica.

3) Transitiva:

Sia $xRy$ dunque $x=y \vee x,y\in N_0$

Sia anche $yRz$ dunque $y=z \vee y,z\in N_0$.

Studiamo i vari casi:

  • Se $x=y$ e $y=z$ allora $x=z$ e dunque $xRz$
  • Se $x=y$ e $y,z\in N_0$ allora anche $x,z\in N_0$ e dunque $xRz$
  • Se $x,y \in N_0$ e $y=z$ allora $x,z\in N_0$ e dunque $xRz$
  • Se $x,y \in N_0$ e $y,z\in N_0$ allora $x,z \in N_0$ e dunque $xRz$

In ogni caso dunque $xRz$.

 

La reazione dunque è di equivalenza. 

La classe di equivalenza è $N_0$, dato che tutti i numeri in $N_0$ sono equivalenti tra loro perché sono in $N_0$.

L'insieme quoziente è dunque:

$ \frac{Z}{N_0}=\{N_0, Z-N_0\}$

Cioè suddividiamo i numeri relativi tra quelli che fanno parte di $N_0$ e quelli che non ne fanno parte.

Noemi



Risposta
SOS Matematica

4.6
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