Esercizio

Dal quesito

https://www.sosmatematica.it/forum/domande/esercizio-102/#post-245452

riprendo la definizione del pullback.

Attenzione però al fatto che nel precedente esercizio era $f\in V^M$ (spazio di partenza), mentre stavolta $f\in V^N$ (spazio di arrivo).

Per non creare confusione, riscrivo il pullback con una lettera diversa:

$\alpha^*: V^M \rightarrow V^N$ tc $\alpha^*(g) \rightarrow g\circ \alpha$

dove 

$\alpha: N\rightarrow M$ e $g\in V^M$.

Per cui abbiamo:

$\alpha^*(g)=g\circ \alpha \stackrel{def}{=}f \in V^N$

Siano $x,x'\in N$ tc $\alpha(x)=\alpha(x')$.

Allora abbiamo che:

$ \alpha^*(g)(x):= g\circ \alpha (x) := f(x)$

D'altra parte

$\alpha^*(g)(x) = g \circ \alpha (x) = g \circ \alpha (x') = f(x')$

Dunque se $\alpha(x)=\alpha(x')$ anche $f(x)=f(x')$ e dunque:

$Im(\alpha^*) = \{f\in V^N | \alpha(x)=\alpha(x') \implies f(x)=f(x')\}$

Affinché $\alpha^*$ sia suriettiva, l'immagine $Im(\alpha^*)$ deve coincidere con $V^N$ ossia dev'essere:

$dimKer(\alpha^*)=0$

Ora 

$\alpha^*(g)=0$ se $g \circ \alpha = 0$.

Se $\alpha$ è un'applicazione lineare, allora$\alpha(x)=0 \leftrightarrow x=0$ e dunque

$ \alpha^*(g)(0) = g \circ \alpha (0) = g\circ 0 = 0$

Dunque affinché $a^*$ sia suriettiva, ci basta chiedere che $\alpha$ sia lineare.

Noemi