Esercizio

$f: Z \rightarrow N_0$, $f(x)=|x-5|$

$g:N_0 \rightarrow Z$, $g(x) = \left\{ \begin{array}{cl}
x+5 & se \ x \leq 5 \\
x+6 & se \ x > 5
\end{array} \right.$

1) Determiniamo $f(N)$.

Nota che per $x\in N$:

• se $x\leq5$, allora $f(x)=5-x$, in particolare $f(\{1,2,3,4,5\})=\{4,3,2,1,0\}$, zero compreso.
• se $x > 5$, allora $f(x)=x-5$ e otteniamo l'insieme degli $x>1$.

Dunque $f(N)=N_0$

2) Suppongo che per $N_p$ intendi i numeri naturali pari.

In tal caso affinché $f(x)=|x-5|$ sia pari, dev'essere $x$ numero intero dispari. Non ci basta chiedere altro dato che il valore assoluto garantisce che il risultato sia positivo:

$f^{-1}(N_p) = Z_d$

3) Immagine di $g(N_d)$

Nota che:

$g(1)=x+5=1+5=6$

$g(3)=x+5=3+5=8$

$g(5)=x+5=5+5=10$

da qui in poi

$g(7)=x+6=7+6=13$

$g(9)=x+6=9+6=15$

ecc...

dunque $g(N_d)=\{6,8,10\} \cup \{x\in N_d : x\geq 13\}$

4)

Scriviamo esplicitamente l'insieme Y:

$Y=\{y\in Z : 10 \leq |y| \leq 15\}$

$Y = \{10, 11, 12, 13, 14, 15,-10,- 11,- 12,-13, -14, -15\}$

dunque ci basta vedere per quali $x$ si abbia:

$x+5=y$ oppure $x+6=y$

Nota che $g:N_0 \rightarrow Z$ dunque non è possibile che $g(x)$ ci dia come risultato un numero negativo. Per tutti i numeri negativi in $Y$ non esiste controimmagine.

Per gli altri abbiamo:

$g^{-1}(10)=5$

$g^{-1}(11)=\nexists$

$g^{-1}(12)=6$

$g^{-1}(13)=7$

$g^{-1}(14)=8$

$g^{-1}(15)=9$

dunque 

$g^{-1}(Y)=\{5,6,7,8,9\}$

Noemi