I tre esercizi che proponi non sono istanze del medesimo problema.
Non potendo avere una trattazione generica comune si sarebbero dovuti pubblicare (anche a norma di Regolamento) aprendo tre discussioni distinte.
I primi due sono banalucci, mentre del terzo (un po' meno noioso) ti mostro il mio svolgimento.
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Considerando l'equazione
* Γ(k) ≡ 3*x^2 + (k + 1)*y^2 - 12*x - 6*k*y + k^2 - k - 2 = 0
si rilevano/calcolano cose utili per ottemperare alle tre consegne.
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1) La struttura: è dichiarata "famiglia di curve", quindi k rappresenta il parametro; è un polinomio di grado due nelle due variabili non parametro, quindi è una famiglia di sezioni coniche; fra i termini di grado due non c'è quello rettangolare, quindi gli assi di simmetria sono paralleli agli assi coordinati.
* Γ(k) ≡ p(x, y) = 3*x^2 + (k + 1)*y^2 - 12*x - 6*k*y + k^2 - k - 2 = 0 ≡
≡ 3*x^2 - 12*x + (k + 1)*y^2 - 6*k*y + k^2 - k - 2 = 0 ≡
≡ 3*(x - 2)^2 - 12 + (k + 1)*(y - 3*(k/(k + 1)))^2 - 9*k^2/(k + 1) + k^2 - k - 2 = 0 ≡
≡ 3*(x - 2)^2 + (k + 1)*(y - 3*(k/(k + 1)))^2 - 9*k^2/(k + 1) + k^2 - k - 2 - 12 = 0 ≡
≡ 3*(x - 2)^2 + (k + 1)*(y - 3*(k/(k + 1)))^2 + ((k - 3)^3 - 42*(k - 3) - 113)/(k + 1) = 0 ≡
≡ (x - 2)^2/(k + 1) + (y - 3*(k/(k + 1)))^2/3 = - ((k - 3)^3 - 42*(k - 3) - 113)/(3*(k + 1)^2)
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2) Condizione affinché Γ(k) sia parabola: i termini di grado due siano un quadrato di binomio.
* 3*x^2 + (k + 1)*y^2 = (u*x + v*y)^2 ≡
≡ (k = - 1) & (u = √3) & (v = 0)
da cui
* Γ(- 1) ≡ y = (4*x - x^2)/2
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3) Condizione affinché Γ(k) sia conica a centro: il gradiente vale (0, 0).
* ∇[3*x^2 + (k + 1)*y^2 - 12*x - 6*k*y + k^2 - k - 2] =
= (6*(x - 2), 2*(k*(y - 3) + y))
* ∇[p(x, y)] = (0, 0) ≡
≡ (6*(x - 2) = 0) & (2*(k*(y - 3) + y) = 0) ≡
≡ (x = 2) & (y = 3*k/(k + 1)) & (k != - 1 [ovvio, v. 2])
Il luogo dei centri è la retta x = 2 privata del punto (2, 3).
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4) Condizione affinché Γ(k) sia circonferenza: nella forma (x - a)^2/A + (y - b)^2/B = C
* (A = B) & (C > 0) ≡
≡ (k + 1 = 3) & (- ((k - 3)^3 - 42*(k - 3) - 113)/(3*(k + 1)^2) > 0) ≡
≡ (k = 2) & (- ((2 - 3)^3 - 42*(2 - 3) - 113)/(3*(2 + 1)^2) = 8/3 > 0)
da cui
* Γ(2) ≡ (x - 2)^2/(2 + 1) + (y - 3*(2/(2 + 1)))^2/3 = - ((2 - 3)^3 - 42*(2 - 3) - 113)/(3*(2 + 1)^2) ≡
≡ (x - 2)^2/3 + (y - 2)^2/3 = 8/3 ≡
≡ (x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 8
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RISPOSTE AI QUESITI
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a) v. 4: Γ(2) ≡ (x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 8
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b) v. 2: Γ(- 1) ≡ y = (4*x - x^2)/2
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c) Le rette del fascio improprio
* r(h) ≡ y = x + h
intersecano Γ(2) e Γ(- 1) nelle soluzioni dei sistemi
* σC ≡ r(h) & Γ(2) ≡ (y = x + h) & ((x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 8)
* σP ≡ r(h) & Γ(- 1) ≡ (y = x + h) & (y = (4*x - x^2)/2)
di risolventi
* σC: 2*x^2 + 2*(h - 4)*x + h*(h - 4) = 0
* σP: x^2 - 2*x + 2*h = 0
con discriminanti
* σC: Δ(h) = - 4*(h + 4)*(h - 4)
* σP: Δ(h) = 4*(1 - 2*h)
che, per soddisfare alla consegna "interseca sia laparabola che la circonferenza", devono essere non negativi tutt'e due
* (- 4*(h + 4)*(h - 4) >= 0) & (4*(1 - 2*h) >= 0) ≡
≡ - 4 <= h <= 1/2
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abc) Grafici ai link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5B%28x-2%29%5E2%3D8-%28y-2%29%5E2%2Cy%3D%284*x-x%5E2%29%2F2%5D
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5B%28x-2%29%5E2%3D8-%28y-2%29%5E2%2Cy%3D%284*x-x%5E2%29%2F2%2Cy%3Dx-4%2Cy-1%2F2%3Dx%5D
