[Risolto] Esercizi sui Numeri Complessi

Ciao!

Es 4: le radici immaginarie di 1 sono sempre i vertici di un poligono regolare inscritto nella circonferenza di raggio 1. quindi sono ai vertici di un decagono regolare. 

ES.1 

il numero complesso è $\rho e^{i2\pi/3}$

a) La forma algebrica, o rettangolare è $\rho [cos(\frac{2\pi}{3})+isin(\frac{2\pi}{3})]= \rho [\frac{-1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}]=-\frac{\rho}{2}+i\frac{\rho \sqrt{3}}{2}$

b) calcoliamo il quadrato svolgendo il prodotto membro a membro e ricordando che $i^2=-1$: $(-\frac{\rho}{2}+i\frac{\rho \sqrt{3}}{2})(-\frac{\rho}{2}+i\frac{\rho \sqrt{3}}{2})= \frac{\rho^2}{4} - \frac{3\rho^2 }{4}-2i\frac{\rho^2 \sqrt{3}}{4}=-\frac{\rho^2}{2} -i\frac{\rho^2 \sqrt{3}}{2}$

c) $-\frac{\rho^2}{2} -i\frac{\rho^2 \sqrt{3}}{2}=\rho^2[-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}]$ 

a questo punto calcoliamoci la tangente dell'angolo come $tan(\phi)=\frac{\sqrt{3}}{2}/\frac{1}{2}=\sqrt{3}$ ma siccome sia il seno che il coseno sono negativi deve essere un angolo nel terzo quadrante. Quindi $\phi=tan^{-1}\sqrt{3}+\pi=\frac{\pi}{3}+\pi=\frac{4\pi}{3}$

Pertanto la rappresentazione è $\rho^2 e^{i4\pi/3}$

d) calcolare il quadrato con la formula trigonometrica è molto semplice, in quanto basta fare il quadrato del modulo e raddoppiare l'angolo: quindi

$(\rho^2 e^{i4\pi/3})^2=\rho^4 e^{i8\pi/3}$