[Risolto] Esercizi massimo e minimo con parametri

245. y = (x+a)/√(x²+4)

• Dominio = ℝ

determiniamo i punti stazionari

• Derivata prima. y'(x) = (4-ax)/(x²+4)³/² 
• Punti stazionari. y'(x) = 0 

(4-ax)/(x²+4)³/² = 0

4-ax=0

ax=4

a. Se a = 0 allora ax=4 risulta impossibile quindi nessun punto di estremo relativo.

Notiamo che il denominatore è positivo in tutto il dominio quindi possiamo restringere le osservazioni sul segno della derivata prima al solo numeratore. In particolare

b. Se a < 0 allora il segno della derivata è rappresentato dal diagramma

...........4/a......0

----------0+++  y'(x)  [Segno della derivata]

....↘......=..↗...  y(x)   [Intervalli di monotonia della funzione]

La funzione y(x) decresce a sinistra del punto stazionario e cresce alla sua destra ⇒ x=4/a è un punto di minimo relativo.

c. Se a > 0 si ha

0.......4/a..............

++++0------------  y'(x)

...↗....=.......↘.....   y(x)  

La funzione y(x) cresce a sinistra del punto stazionario e decresce alla sua destra ⇒ x=4/a è un punto di massimo relativo.

d. x=4/a 

dalla quale si ricava a=4/x. Per avere x=8 è sufficiente che a sia 1/2, infatti x=4/(1/2) = 8.

246. y = (x²+a)/√(x²+4)

• Dominio = ℝ

determiniamo i punti stazionari

• Derivata prima. y'(x) = (x³+(8-a)x)/(x²+4)³/² 
• Punti stazionari. y'(x) = 0 

(x³+(8-a)x) / (x²+4)³/² = 0

x(x²+8-a) = 0

a. Un solo punto di estremo relativo. 

x=0 è sempre presente, per essere l'unico è necessario che x²+8-a = 0 non ammetta soluzioni o al più quella nulla già incontrata

x² = a-8 nessuna soluzione, o al più quella nulla quindi

a-8 ≤ 0

a ≤ 8

b. un punto di massimo relativo per y = 5

Osserviamo che i limiti per x→±∞ sono entrambi +∞ quindi necessariamente la funzione, per il teorema di Weirestrass generalizzato, ammette un minimo. Poiché siamo alla ricerca di un massimo necessariamente a deve essere maggiore di 8

a > 8.

In questo caso si hanno 3 punti stazionari e ha causa dei limiti dovranno essere due minimi relativi ed un massimo, che sarà lo stazionario intermedio.

I 3 punti stazionari sono 

x = -√(a-8)

x = 0

x = √(a-8)

Il punto di massimo relativo dovrà essere x = 0 (punto intermedio) per ottenerlo introduciamo le coordinate nella funzione

y = (x²+a)/√(x²+4)

5 = a/2

a = 10.

c. minimo relativo per x=2

per quanto detto al punto b. il minimo con ascissa positiva non può che essere

x = √(a-8)

2 = √(a-8)

4 = a-8

a = 12.

d. due minimi relativi di ordinata 8.

per quanto detto i due minimi relativi dovranno essere nei punti

x = ±√(a-8) per cui

x² = a - 8

introducendo le coordinate nella funzione avremo

8 = (a-8+a)/√(a-8+4)

8 = (2a-8) / √(a-4)

8 = 2 √(a-4)

4 = √(a-4)

16 = a-4

a = 20

Si tratta fondamentalmente di esercizi test per controllare se rammenti la nomenclatura, le regole di derivazione e le condizioni sulle due prime derivate.
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CONDIZIONI
Data una funzione e le sue due prime derivate
* y = f(x), dy/dx = f'(x), dy'/dx = f''(x)
si determinano i punti critici (x, f(x)) in base alle condizioni
* (f'(x) != 0) & (f''(x) != 0) ≡ punto ordinario
* (f'(x) != 0) & (f''(x) = 0) ≡ flesso a tangente obliqua
* (f'(x) = 0) & (f''(x) < 0) ≡ massimo relativo
* (f'(x) = 0) & (f''(x) = 0) ≡ flesso a tangente orizzontale
* (f'(x) = 0) & (f''(x) > 0) ≡ minimo relativo
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NOMENCLATURA
"punto stazionario" ≡ f'(x) = 0
"{estremo, minimo, massimo} relativo" ≡ (f'(x) = 0) & (f''(x) != 0)
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DERIVATE (n = 1 o 2)
* y = f(x) = (x^n + a)/√(x^2 + 4)
* dy/dx = f'(x) = (n*(x^2 + 4)*x^n - (a + x^n)*x^2)/(x*(x^2 + 4)^(3/2))
* dy'/dx = f''(x) = (2*a*(x^2 - 2)*x^2 + ((n - 2)*(n - 1)*x^4 + 4*(2*(n - 2)*n - 1)*x^2 + 16*(n - 1)*n)*x^n)/((x^2)*(x^2 + 4)^(5/2))