[Risolto] esercizi geometria analitica

@alienoid35

Ciao e benvenuto. Con la speranza che il compito sia andato meglio delle aspettative, ti invito a consultarci spesso per la tua futura preparazione in matematica.

Andiamo quindi al post da te inviato:

2·x + y - 8 = 0

e retta tangente alla parabola ad asse verticale che convenientemente si scrive:

y = a·(x - k)^2

che tiene conto del fatto che risulta tangente in V(k,0) all'asse delle x.

Il punto di tangenza T ha coordinate comuni alle retta ed alla parabola:

2·6 + y - 8 = 0-----> y = -4-----> T(6,-4)

Vediamo di determinare l'equazione della parabola

a) passa per T

-4 = a·(6 - k)^2-----> a = - 4/(k - 6)^2

Quindi la parabola ha solo come parametro incognito k:

y = - 4·(x - k)^2/(k - 6)^2

Se sviluppiamo otteniamo:

y = - 4·x^2/(k - 6)^2 + 8·k·x/(k - 6)^2 - 4·k^2/(k - 6)^2

Adoperiamo quindi le formule di sdoppiamento:

(y - 4)/2 = - 4·6·x/(k - 6)^2 + 8·k·((x + 6)/2)/(k - 6)^2 - 4·k^2/(k - 6)^2

Se risolviamo otteniamo:

y = 8·x/(k - 6) - 4·(k + 6)/(k - 6)

Determiniamo quindi k confrontando la retta tangente: y = 8 - 2·x

con quanto ottenuto:

{8/(k-6)=-2

{- 4·(k + 6)/(k - 6) =8

dalla prima: k = 2

Verifichiamo con la seconda il valore ottenuto:

- 4·(2 + 6)/(2 - 6) = 8------> 8 = 8 OK!    V(2,0)

Quindi la parabola ha equazione:

y = (- 4/(2 - 6)^2)·(x - 2)^2--------> y = - x^2/4 + x - 1

Quindi grafico della situazione:

 Il punto P(2,1) sta sull'asse della parabola in quanto ha la stessa ascissa del suo vertice V.

Inoltre l'asse ha equazione:

x=-b/(2a)---------> a=-1/4; b=1------> x = - 1/(2·(- 1/4))----> x = 2

Per le altre risposte vedi anche @exprof

Ulteriore grafico:

Hai pubblicato la domanda alle otto e adesso è mezzanotte e hai zero risposte.
In quattr'ore nessuno dei responsori abituali ha avuto il coraggio d'affrontarti; lo faccio io che, essendo il più vecchio, ho anche il più basso residuo di rispetto umano.
Il fatto che tu scriva "domani ho verifica e sono messo male" alle otto di sera della vigilia della prova significa che, dimostrando scarsissime capacità di valutazione delle circostanze, ogni onesta risposta deve iniziare avvisandoti di non nutrire soverchie illusioni sull'esito della prova di domani: andrai rovinosamente male.
Se fossi stato capace di valutare la situazione del "sono messo male" avresti dovuto iniziare a chiedere esempi e spiegazioni da almeno una settimana.
Ad ogni modo cosa fatta capo ha ed è inutile piangere sul latte versato.
Per domani, non saprei che dirti; ma subito dopo ti raccomando di rivolgerti a noi per organizzare un fruttuoso recupero non tanto proponendoci gli esercizi quanto i dubbi sui tuoi punti deboli, le cose su cui inciampi, e cose così.
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A proposito di quest'esercizio (scritto male) e immaginandoti principiante, immagino anche che per te "parabola" significhi implicitamente "parabola con asse di simmetria parallelo all'asse y" e, in quest'ipotesi, il testo perde la sua indeterminatezza.
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Ogni parabola Γ con
* asse di simmetria parallelo all'asse y
* apertura a != 0
* vertice V(w, h)
ha equazione
* Γ ≡ y = h + a*(x - w)^2
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Per essere tangente l'asse x deve avere
* vertice V(w, 0)
* equazione Γ ≡ y = a*(x - w)^2
* pendenza m(x) = 2*a*(x - w)
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La seconda tangente
* t ≡ 2*x + y - 8 = 0 ≡ y = 8 - 2*x
di pendenza m = - 2, deve avere il punto di tangenza in T(6, - 4) dove Γ ha pendenza
* m(6) = 2*a*(6 - w)
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Per essere tangente t in T la parabola Γ deve
* passare da T (- 4 = a*(6 - w)^2)
* e lì avere pendenza meno due (2*a*(6 - w) = - 2)
Il sistema di questi due vincoli
* (2*a*(6 - w) = - 2) & (- 4 = a*(6 - w)^2) ≡ (a = - 1/4) & (w = 2)
determina la richiesta parabola
* Γ ≡ y = - (x - 2)^2/4
con
* vertice V(2, 0)
* apertura < 0, quindi concavità verso y < 0
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Vedi il grafico e il paragrafo "Solutions" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3D-%28x-2%29%5E2%2F4%2Cy*%28-y--8-2*x%29%3D0%5D
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RISPOSTE AI QUESITI
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a) Certo che ci appartiene, ha la stessa ascissa!
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b) le rette per P(2, h) non parallele all'asse y sono
* r(k) ≡ y = h + k*(x - 2)
il sistema
* r(k) & Γ ≡ (y = h + k*(x - 2)) & (y = - (x - 2)^2/4)
ha risolvente
* h + k*(x - 2) + (x - 2)^2/4 = 0
con discriminante
* Δ(k) = k^2 - h
che, per la tangenza, dev'essere zero; quindi le tangenti hanno pendenze opposte
* k = ± √h
Per h = 1 si hanno le tangenti
* k = ± 1
* r(- 1) ≡ y = 1 - (x - 2) = 3 - x
* r(+ 1) ≡ y = 1 + (x - 2) = x - 1
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c) No non vale per tutti i punti dell'asse; da quelli interni alla concavità non si possono trarre tangenti. Vale per tutti quelli esterni, perché l'asse di simmetria è di simmetria: se le pendenze non fossero opposte che simmetria sarebbe?
Mi rendo conto che tale motivazione possa rammentare la prova ontologica di Anselmo d'Aosta, ma in questo contesto è impeccabile.

SECONDA RISPOSTA (ad oltre mezza giornata dalla prima)
Spero di tutto cuore che tu abbia avuto una botta di genio e di fortuna e che sia riuscito ad arrangiare una figura dignitosa nella prova di verifica di stamattina.
Adesso, come mossa iniziale del recupero, ti invito a esaminare con cavillosa acribia il testo di ogni esercizio che incontri e a rispondere esattamente alla lettera di ciò che trovi scritto e non a quello che è ragionevole intendere che voglia dire (ovviamente devi scrivere gli esatti motivi delle tue decisioni).
Applicando con rigore e coerenza questo metodo mi guadagnai la stima di molti insegnanti sia al liceo che nei primi anni di università (Prof: "Cacciaguida era il trisavolo di Dante ..."; io: "Quale trisavolo?"; Prof: "Che domande! Il trisavolo. Perché, tu quanti trisavoli hai?"; io: "Io sedici, e Lei?").
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Mentre nella prima risposta ho scritto «... immagino anche che per te "parabola" significhi implicitamente "parabola con asse di simmetria parallelo all'asse y"» cioè "quello che è ragionevole intendere", in questa ti mostro cosa deve attendersi un professore che scriva il testo di un esercizio senza prevedere le conseguenze delle parole che usa e, soprattutto, di quelle che non usa.
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La consegna di quest'esercizio è
* «Determina l'equazione della parabola tangente all'asse x e tangente alla retta 2*x + y - 8 = 0 nel suo punto di ascissa 6.»
e, anche prescindendo dai quattro errori d'italiano, nulla dice circa l'orientamento dell'asse di simmatria. Pertanto nulla autorizza il risolutore a basarsi su un modello a tre soli parametri invece che sul modello generale a cinque parametri.
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Ogni generica parabola Γ del piano Oxy ha equazione riducibile alla forma
* Γ ≡ (p*x + q*y)^2 + 2*a*x + 2*b*y + c = 0
quella richiesta deve passare dal punto T(6, - 4) quindi la condizione
* (p*6 + q*(- 4))^2 + 2*a*6 + 2*b*(- 4) + c = 0 ≡
≡ c = - 4*(3*a - 2*b + (3*p - 2*q)^2)
riduce i parametri liberi da cinque a quattro
* Γ ≡ (p*x + q*y)^2 + 2*a*x + 2*b*y - 4*(3*a - 2*b + (3*p - 2*q)^2) = 0
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La condizione di tangenza, con ciascuna delle due rette, impone il vincolo che sia zero il discriminante del sistema retta-parabola.
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Con l'asse x
* (y = 0) & ((p*x + q*y)^2 + 2*a*x + 2*b*y - 4*(3*a - 2*b + (3*p - 2*q)^2) = 0) →
→ (p*x)^2 + 2*a*x - 4*(3*a - 2*b + (3*p - 2*q)^2) = 0
* Δ = 4*(36*p^4 - 48*q*p^3 + 4*(3*a - 2*(b - 2*q^2))*p^2 + a^2)
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Con la retta 2*x + y - 8 = 0
* (y = 2*(4 - x)) & ((p*x + q*y)^2 + 2*a*x + 2*b*y - 4*(3*a - 2*b + (3*p - 2*q)^2) = 0) →
→ (p*x + q*2*(4 - x))^2 + 2*a*x + 2*b*2*(4 - x) - 4*(3*a - 2*b + (3*p - 2*q)^2) = 0 ≡
≡ ((p - 2*q)*x)^2 + 2*(a - 2*b + 8*q*(p - 2*q))*x - 12*(a - 2*b + (3*p + 2*q)*(p - 2*q)) = 0
* Δ = 4*((a - 2*b)^2 + 4*(a - 2*b)*(3*p - 2*q)*(p - 2*q) + 4*((3*p^2 + 4*q^2)^2 + (8*p*q)^2) - 64*(3*p^2 + 4*q^2)*p*q)
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E solo due delle quattro indeterminate si possono eliminare con la risoluzione del sistema
* (36*p^4 - 48*q*p^3 + 4*(3*a - 2*(b - 2*q^2))*p^2 + a^2 = 0) & ((a - 2*b)^2 + 4*(a - 2*b)*(3*p - 2*q)*(p - 2*q) + 4*((3*p^2 + 4*q^2)^2 + (8*p*q)^2) - 64*(3*p^2 + 4*q^2)*p*q = 0)
che ha due possibili soluzioni reali significative
* (3*a < 2*b) & (p = - a/√(2*(2*b - 3*a))) & (q = - b/√(2*(2*b - 3*a)))
* (a = b = 0) & (p != 0) & (q = (3/2)*p)
in ciascuno dei due casi si ha un'infinità di parabole soddisfacenti alle condizioni.
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GLI ERRORI DEL TESTO
1) L'uso del singolare per riferirsi a un'infinità di parabole.
2) [due volte] L'uso di tangere col complemento di termine anziché col complemento oggetto.
3) L'uso di "ascissa 6" invece di "ascissa sei" o di "ascissa x = 6".