2) Per il punto $\mathrm{P}(-5 ; 3)$, conduci la perpendicolare alla retta $2 \mathrm{x}+\mathrm{y}=5 \mathrm{e}$ trova le coordinate del piede della perpendicolare.
3) Calcola la distanza tra le rette parallele $\mathrm{r}: 3 \mathrm{x}+4 \mathrm{y}+12=0$ ed $\mathrm{s}: 3 \mathrm{x}+4 \mathrm{y}+6=0$.
4) Il triangolo $\mathrm{ABC}$ ha i vertici A $(-2 ;-1), \mathrm{B}(1 ; 3), \mathrm{C}(6 ; 1)$. Trovare le coordinate del suo ortocentro $\mathrm{H}$ (punto di intersezione delle altezze).
81
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Livello 1
Esercizio 2:
noi abbiamo la retta r: 2x + y=5 se a osserviamo meglio abbiamo:
y= -2x +5 quindi: mr=-2 (coefficiente angolare di 'r')
una retta 's' si dice perpendicolare ad 'r' se il suo coefficiente angolare è l'inverso del coefficiente angolare di 'r'.
Quindi ms=1/mr= - (1/2)
Ora consideriamo la formula generale per calcolare una retta passante per il punto P:
( y - 3 )= m ( x - (-5) )
ora al posto di m ci aggiungiamo ms:
( y - 3 )= - ( 1/2 )( x - (-5) )
-2( y - 3 )= ( x + 5 )
quindi svolgendo i calcoli troviamo la retta perpendicolare ad r passante per P:
s: 2y +x +11 = 0
Il piede della perpendicolare non è altro che la proiezione di P sulla retta r; oppure possiamo intenderlo anche come il punto di intersezione tra la retta 's' ed 'r'. Quindi basta mettere a sistema le due rette e risolvere il sistema.
Il sistema avrà sempre soluzione poichè sono due rette perpendicolari e due rette perpendicolari in un piano si intersecano sempre.
90
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Livello 1
Esercizio 3:
per calcolare la distanza fra due rette c'è questo metodo molto carino.
Scegli una retta a caso, una delle due non è importante quale.
Consideriamo la retta:
r: 3x + 4y + 12=0
innanzitutto ci calcoliamo un punto appartenente alla retta; fissiandoci
x=0 e ci ritroviamo, svolgendo i calcoli y= -3; quindi otteniamo il punto:
P=(0,-3)
Avendo trovato il punto P possiamo calcolarci la distanza dal punto P alla retta 's' utilizzando la seguente formula:
d(P,s)= [ a*x+b*y+c ] / [ ( a^2 + b^2 )^(1/2) ]
ove a,b,c sono i coefficienti della retta s, in questo caso
a=3; b=4; c=6;
e x, y sono le coordinate del punto P
x=0; y= -3;
quindi sostituendo nella formula e svolgendo i calcoli ti uscirà questo:
d(P,s)= [ 3*0 + 4*( -3 ) + 6 ] / [ ( 3^2 + 4^2 )^(1/2) ] = 6/5
ps se vai su youmath trovi la formula scritta meglio.
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Esercizio 4:
Il mio consiglio quando si svolgono questi esercizi è di disegnare sempre a figura, così nel caso si sta sbagliando allora ci si rende conto dal disegno.
L'ortocentro è l'intersezione delle tre altezze.
Quindi qui cosa devi fare:
1) devi trovarti due rette passante per i punti che hai, cioe per esempio:
la retta passante per A e B 'r1'
e a retta passante per A e C 'r2'
2) ora per ogni retta che hai trovato esegui questo procedimento:
prendi una retta (per esempio 'r1') e consideri il punto che non appartiene alla retta ( in questo caso C) e ti trovi a perpendicolare;
analogamente fai lo stesso procedimento con l'altra retta ( cioè 'r2' ) e ti tracci la sua perpendicolare passante per il punto esterno.
3) infine ti ritrovi con due perpendicolari e la loro intersezione ti da proprio l'ortocentro
90
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