[Risolto] Esercizi funzione

Ciao!

Le condizioni di esistenza di questa funzione, trattandosi di una funzione fratta, sono $denominatore \neq 0$, dunque

$5x+10 \neq 0 \Rightarrow 5x \neq -10 \Rightarrow x \neq -2 $

dunque il dominio è $(-\infty; -2) \cup (-2 ; +\infty)$. 

Studiamo il segno, ossia $f(x) > 0$. Possiamo separare numeratore e denominatore studiando i due segni separatamente:

$N > 0 \Rightarrow x^2 > 0 \Rightarrow \forall x $

$ D > 0 \Rightarrow 5x +10 > 0 \Rightarrow x > -2 $

Non è necessario fare la tabella dei segni perché il numeratore non influenza il segno della funzione. Dunque la funzione è positiva in $(-2 ; +\infty)$ e negativa in $(-\infty; -2)$.

Vediamo quando la funzione è nulla, cioè quando $f(x) =0 $. Avendo imposto già le condizioni di esistenza della funzione possiamo subito trascurarne lo studio. Infatti, una volta appurato che il denominatore sia ben definito, per studiare l'equazione $f(x) = 0$, è sufficiente studiare soltanto il numeratore. Quindi:

$x^2 = 0 \Rightarrow x = 0$

La funzione è quindi nulla in $ x = 0$.